Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Bu ders notu, "7. Sınıf Denklem Kurma Problemleri Test 1" adlı testte karşılaştığınız konuları pekiştirmeniz ve denklem kurma becerilerinizi geliştirmeniz için hazırlandı. Bu test, özellikle bir bilinmeyenli denklemleri kurma ve çözme, farklı türdeki problemleri (yaş, kesir, hız, sıra, geometri vb.) matematiksel ifadelere dönüştürme yeteneğinizi ölçüyor. Hazırsanız, denklem kurmanın püf noktalarına ve problem çözme stratejilerine birlikte göz atalım! 🚀

🎯 Denklem Nedir ve Neden Önemlidir?

Denklem, içinde bir veya daha fazla bilinmeyen bulunan ve bu bilinmeyenlerin belirli değerleri için doğru olan eşitliklerdir. Matematikteki bir problemi çözmek için, o problemi bir denkleme dönüştürmemiz gerekir. Denklem kurma, günlük hayattaki birçok durumu matematiksel olarak ifade etmemizi ve çözüm bulmamızı sağlar. Örneğin, bir ürünün indirimli fiyatını hesaplarken, iki arkadaşın yaş farkını bulurken veya bir yolculuğun ne kadar süreceğini tahmin ederken denklemleri kullanırız.

📝 Cebirsel İfadelerle Tanışma ve Denklem Kurma Adımları

Problemleri denkleme dönüştürmenin ilk adımı, bilinmeyenleri cebirsel ifadelerle temsil etmektir.

• Bilinmeyeni Belirle: Genellikle sorulan veya bulunması istenen değere bir harf (x, y, a, b gibi) atarız. Bu harfe bilinmeyen denir.
• Cebirsel İfadeler Oluştur: Problemin içindeki bilgileri matematiksel sembollerle ifade et. İşte bazı yaygın ifadeler:
  • Bir sayının 3 fazlası: \(x + 3\)
  • Bir sayının 5 eksiği: \(x - 5\)
  • Bir sayının 2 katı: \(2x\)
  • Bir sayının yarısı: \(\frac{x}{2}\) veya \(x \div 2\)
  • Bir sayının 3 katının 7 fazlası: \(3x + 7\)
  • Bir sayının 4 fazlasının 2 katı: \(2 \cdot (x + 4)\) ⚠️ Dikkat: Parantez kullanmayı unutma!
• Eşitliği Kur: Problemin sonunda verilen eşitlik durumunu (örneğin "toplamı şuna eşittir", "farkı budur") kullanarak bir denklem oluştur.

Örnek: "Hangi sayının 5 katının 10 eksiği 30'dur?"
Bilinmeyen sayıya \(x\) diyelim.
5 katı: \(5x\)
10 eksiği: \(5x - 10\)
Eşittir 30: \(5x - 10 = 30\). İşte denklemimiz hazır! ✅

⚙️ Bir Bilinmeyenli Denklemleri Çözme

Denklemi kurduktan sonra sıra onu çözmeye gelir. Amacımız, bilinmeyeni (x) eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

• Eşitliğin Korunumu İlkesi: Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklersek, çıkarırsak, çarparsak (sıfır hariç) veya bölersek (sıfır hariç), eşitlik bozulmaz.
  • \(x + 5 = 12 \Rightarrow x + 5 - 5 = 12 - 5 \Rightarrow x = 7\)
  • \(x - 3 = 8 \Rightarrow x - 3 + 3 = 8 + 3 \Rightarrow x = 11\)
  • \(4x = 20 \Rightarrow \frac{4x}{4} = \frac{20}{4} \Rightarrow x = 5\)
  • \(\frac{x}{6} = 3 \Rightarrow \frac{x}{6} \cdot 6 = 3 \cdot 6 \Rightarrow x = 18\)
• Terimleri Taşıma: Bilinmeyenli terimleri eşitliğin bir tarafına, sabit sayıları diğer tarafına toplamak için terimleri eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek atarız.
  • \(3x + 7 = x + 15 \Rightarrow 3x - x = 15 - 7 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\)

💡 İpucu: Denklemi çözdükten sonra bulduğunuz değeri orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapın. Böylece doğru çözüp çözmediğinizi kontrol edebilirsiniz. 👍

🧩 Farklı Problem Türleri ve Yaklaşımlar

⏳ Yaş Problemleri

• Yaş farkı her zaman sabittir.
• Gelecekteki yaşlar için yıla ekleme (\(x + 5\)), geçmişteki yaşlar için çıkarma (\(x - 3\)) yapılır.
• Örnek: "Bir baba 40, oğlu 10 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olur?"
  \(x\) yıl sonra baba \(40+x\), oğlu \(10+x\) yaşında olur.
  Denklem: \(40 + x = 2 \cdot (10 + x)\)

🍰 Kesir Problemleri

• Bütünün tamamı 1 olarak kabul edilir.
• Bir sayının \(\frac{a}{b}\)'si denildiğinde, sayıyı \(\frac{a}{b}\) ile çarparız.
• Örnek: "Bir deponun \(\frac{1}{3}\)'i doludur. Depoya 10 litre daha su eklenince deponun yarısı doluyor. Depo kaç litredir?"
  Deponun tamamına \(x\) diyelim.
  Başlangıçta: \(\frac{x}{3}\)
  10 litre eklenince: \(\frac{x}{3} + 10\)
  Deponun yarısı: \(\frac{x}{2}\)
  Denklem: \(\frac{x}{3} + 10 = \frac{x}{2}\)
• ⚠️ Dikkat: Kesirli denklemlerde payda eşitleme yaparak veya her terimi paydaların en küçük ortak katı ile çarparak kesirlerden kurtulmak işlemi kolaylaştırır.

🚗 Hız Problemleri

• Temel formül: Yol = Hız x Zaman (\(Y = H \cdot Z\))
• Karşılaşma problemlerinde, araçlar birbirine doğru hareket ediyorsa hızlar toplanır. Aynı yöne gidiyorlarsa hızlar farkı alınır.
• Örnek: "A ve B şehirleri arası 300 km'dir. A'dan 80 km/sa hızla, B'den 70 km/sa hızla aynı anda karşılıklı hareket eden iki araç kaç saat sonra karşılaşır?"
  Karşılaşma zamanı \(t\) olsun.
  Toplam yol = Hızlar toplamı x Zaman
  Denklem: \(300 = (80 + 70) \cdot t\)

🔢 Sıra ve Sayı Problemleri

• Bir sıradaki kişi sayısı = (Öndeki kişi sayısı) + (Arkadaşındaki kişi sayısı) + 1 (kendisi)
• Ortadaki kişi problemlerinde, önündeki ve arkasındaki kişi sayısı eşittir.
• Örnek: "Bir sırada Ayşe'nin önünde \(2x-1\) kişi, arkasında \(x+5\) kişi vardır. Ayşe sıranın tam ortasında olduğuna göre, sırada toplam kaç kişi vardır?"
  Önündeki kişi sayısı = Arkasındaki kişi sayısı
  Denklem: \(2x - 1 = x + 5\)
  \(x\)'i bulduktan sonra toplam kişi sayısını hesapla: \((2x-1) + (x+5) + 1\)

📐 Geometri Problemleri

• Geometrik şekillerin çevre, alan gibi formüllerini kullanarak denklem kurma.
• Örnek: "Bir dikdörtgenin uzun kenarı \(3x+2\) cm, kısa kenarı \(x\) cm'dir. Dikdörtgenin çevresi 44 cm ise, uzun kenarı kaç cm'dir?"
  Çevre = 2 * (Uzun kenar + Kısa kenar)
  Denklem: \(44 = 2 \cdot ((3x+2) + x)\)

💰 Puan ve Ücret Problemleri

• Farklı durumlara göre (doğru/yanlış cevap, satılan ürün adedi vb.) puan veya ücret hesaplama.
• Örnek: "Bir sınavda her doğru cevap 5 puan, her yanlış cevap -2 puandır. Toplam 20 sorudan oluşan sınavda tüm soruları cevaplayan bir öğrenci 60 puan aldı. Kaç doğru cevap vermiştir?"
  Doğru cevap sayısı \(x\) olsun.
  Yanlış cevap sayısı: \(20 - x\)
  Toplam puan: (Doğru sayısı * Puan) + (Yanlış sayısı * Puan)
  Denklem: \(5x + (-2) \cdot (20 - x) = 60\)

📈 Ardışık Değişim Problemleri

• Her adımda belirli bir kurala göre artan veya azalan miktarlar.
• Örnek: "Bir öğrenci ilk gün \(x\) soru çözüyor. Sonraki her gün bir önceki günden 5 soru fazla çözüyor. 3 günde toplam 60 soru çözdüğüne göre, ilk gün kaç soru çözmüştür?"
  1. gün: \(x\)
  2. gün: \(x + 5\)
  3. gün: \(x + 5 + 5 = x + 10\)
  Toplam: \(x + (x+5) + (x+10) = 60\)

⚠️ Kritik Noktalar ve İpuçları

• Problemi Dikkatlice Oku: Her kelimenin, her sayının bir anlamı vardır. Acele etme!
• Bilinmeyeni Doğru Seç: Genellikle sorulan şey bilinmeyendir. Ama bazen başka bir şeye \(x\) demek denklemi daha kolay kurmanı sağlar.
• Parantezleri Unutma: "Bir sayının 3 fazlasının 2 katı" gibi ifadelerde parantez kullanmak çok önemlidir: \(2 \cdot (x+3)\) ≠ \(2x+3\).
• İşlem Önceliği: Denklemleri çözerken işlem önceliğine dikkat et (Parantez, Üslü Sayılar, Çarpma/Bölme, Toplama/Çıkarma).
• Negatif Sayılar: Negatif sayılarla işlem yaparken işaretlere çok dikkat et. Özellikle çıkarma ve çarpma işlemlerinde hata yapma olasılığın artar.
• Sağlama Yap: Bulduğun cevabı orijinal problemdeki yerine koyarak sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol et.

Unutma, denklem kurma ve çözme bol pratik gerektiren bir beceridir. Ne kadar çok problem çözersen, o kadar ustalaşırsın! Başarılar dilerim! 🌟