Sorunun Çözümü
- Toplamda 3 kişi (Aslı, Sezgin, Seda) ve 7 arkadaşı olmak üzere $3 + 7 = 10$ kişi vardır.
- Bir arkadaşın aldığı fındık miktarı: $48 \cdot (1 - a/b) / 7$ kg.
- Bir arkadaşın aldığı fıstık miktarı: $36 \cdot (1 - a/b) / 7$ kg.
- Bir arkadaşın aldığı ceviz miktarı: $96 \cdot (1 - a/b) / 7$ kg.
- Bir arkadaşın aldığı toplam miktar: $(48 + 36 + 96) \cdot (1 - a/b) / 7 = 180 \cdot (1 - a/b) / 7$ kg.
- Paylaşımda herkesin aldığı miktarlar tam sayı olduğundan, $48 \cdot a/b$, $36 \cdot a/b$, $96 \cdot a/b$ tam sayı olmalıdır. Bu durumda $b$, $48$, $36$ ve $96$'nın ortak böleni olmalıdır. $\text{EBOB}(48, 36, 96) = 12$ olduğundan, $b$ sayısı $12$'nin bir böleni olmalıdır.
- Ayrıca, $48 \cdot (1 - a/b) / 7$, $36 \cdot (1 - a/b) / 7$, $96 \cdot (1 - a/b) / 7$ tam sayı olmalıdır. Bu da $48 \cdot (b-a) / (7b)$, $36 \cdot (b-a) / (7b)$, $96 \cdot (b-a) / (7b)$ ifadelerinin tam sayı olmasını gerektirir. $b$ sayısı $48, 36, 96$'nın böleni olduğundan, $(b-a)$ ifadesi $7$'nin katı olmalıdır. Yani $b-a = 7k$ ($k$ bir tam sayı) olmalıdır.
- Verilen eşitsizlik $1/4 < a/b < 5/6$'dır. $b$ sayısı $12$'nin bir böleni ve $b-a = 7k$ koşulunu sağlayan $a/b$ değerini arıyoruz.
- $b=1, 2, 3, 4, 6$ için $b-a=7k$ koşulunu ve $a
- $b=12$ için $12-a = 7k$ olmalıdır.
- Eğer $k=1$ ise, $12-a = 7 \Rightarrow a=5$. Bu durumda $a/b = 5/12$ olur.
- $1/4 < 5/12 < 5/6$ eşitsizliğini kontrol edelim: $3/12 < 5/12 < 10/12$. Bu eşitsizlik doğrudur.
- Eğer $k=0$ ise, $a=12$. $a/b = 12/12 = 1$. Bu değer $1/4 < 1 < 5/6$ eşitsizliğini sağlamaz.
- Eğer $k \ge 2$ ise, $a$ negatif olur, bu da mümkün değildir.
- $b=12$ için $12-a = 7k$ olmalıdır.
- $b=1, 2, 3, 4, 6$ için $b-a=7k$ koşulunu ve $a
- Dolayısıyla, $a/b$ için tek olası değer $5/12$'dir.
- Bir arkadaşın aldığı toplam fıstık, fındık ve ceviz miktarını hesaplayalım: $180 \cdot (1 - a/b) / 7 = 180 \cdot (1 - 5/12) / 7 = 180 \cdot (7/12) / 7 = 180/12 = 15$ kg.
- Doğru Seçenek D'dır.