Soruyu adım adım inceleyelim:

• Aslı'nın yaşı: \(2a + 5\)
• Berk'in yaşı: \(5a + 2\)

Verilen koşullar:

1. Yaşları tek sayı olmalı.
2. Yaşları aralarında asal doğal sayı olmalı.

Adım 1: Yaşların tek sayı olma koşulunu inceleyelim.

• Aslı'nın yaşı \(2a + 5\): \(2a\) ifadesi \(a\) bir rakam olduğu için her zaman çift sayıdır. Çift bir sayıya 5 (tek sayı) eklediğimizde sonuç her zaman tek sayı olur. Yani Aslı'nın yaşı her zaman tek sayıdır. Bu koşul \(a\)'nın tüm rakam değerleri için sağlanır.
• Berk'in yaşı \(5a + 2\): Bu ifadenin tek sayı olması için \(5a\) ifadesinin tek sayı olması gerekir (çünkü Tek + Çift = Tek). \(5a\)'nın tek sayı olması için \(a\)'nın tek bir rakam olması zorunludur.

Bu durumda, \(a\) sadece tek rakamlar olan {1, 3, 5, 7, 9} kümesinden değer alabilir.

Adım 2: Yaşların aralarında asal olma koşulunu inceleyelim.

\(a\)'nın tek rakam değerlerini tek tek deneyerek Aslı ve Berk'in yaşlarının aralarında asal olup olmadığını kontrol edelim:

• \(a = 1\) için:
  • Aslı'nın yaşı: \(2(1) + 5 = 7\)
  • Berk'in yaşı: \(5(1) + 2 = 7\)

  7 ve 7 aralarında asal değildir (EBOB(7, 7) = 7). Bu nedenle \(a=1\) olamaz.

• \(a = 3\) için:
  • Aslı'nın yaşı: \(2(3) + 5 = 11\)
  • Berk'in yaşı: \(5(3) + 2 = 17\)

  11 ve 17 asal sayılardır ve aralarında asaldırlar (EBOB(11, 17) = 1). Bu nedenle \(a=3\) olabilir.

• \(a = 5\) için:
  • Aslı'nın yaşı: \(2(5) + 5 = 15\)
  • Berk'in yaşı: \(5(5) + 2 = 27\)

  15 ve 27 aralarında asal değildir (İkisi de 3'e bölünür, EBOB(15, 27) = 3). Bu nedenle \(a=5\) olamaz.

• \(a = 7\) için:
  • Aslı'nın yaşı: \(2(7) + 5 = 19\)
  • Berk'in yaşı: \(5(7) + 2 = 37\)

  19 ve 37 asal sayılardır ve aralarında asaldırlar (EBOB(19, 37) = 1). Bu nedenle \(a=7\) olabilir.

• \(a = 9\) için:
  • Aslı'nın yaşı: \(2(9) + 5 = 23\)
  • Berk'in yaşı: \(5(9) + 2 = 47\)

  23 ve 47 asal sayılardır ve aralarında asaldırlar (EBOB(23, 47) = 1). Bu nedenle \(a=9\) olabilir.

Adım 3: Sonuç

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, \(a\)'nın alabileceği farklı rakam değerleri {3, 7, 9} olarak bulunur. Toplamda 3 farklı rakam vardır.

Cevap C seçeneğidir.