🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 5 - Ders Notu ve İpuçları
Bu ders notu, rasyonel sayılarla ilgili temel işlemleri, özelliklerini, sıralama yöntemlerini ve günlük hayatta karşılaşılan problem çözümlerini kapsamaktadır. Testteki sorular, rasyonel sayılarla dört işlem yapma, tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirme, sayıları sıralama, işlem özelliklerini kullanma ve problem çözme becerilerini ölçmektedir. Bu notlar, sınav öncesi hızlı bir tekrar yapman ve eksiklerini gidermen için hazırlandı. İyi çalışmalar! 🚀
Rasyonel Sayılar ve Gösterimleri
- Rasyonel sayılar, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır.
- Tam Sayılı Kesir: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlerdir. Örneğin, $2\frac{1}{3}$.
- Bileşik Kesir: Payı paydasından büyük veya payına eşit olan kesirlerdir. Örneğin, $\frac{7}{3}$.
- Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme: Tam kısım ile payda çarpılır, pay ile toplanır ve paya yazılır. Payda aynı kalır.
- Örnek: $2\frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}$
- ⚠️ Dikkat: Negatif tam sayılı kesirlerde tam kısmı ve kesri ayrı düşünerek bileşik kesre çevir. Örneğin, $-2\frac{1}{4} = -(\frac{(2 \times 4) + 1}{4}) = -\frac{9}{4}$. Sakın $-2 - \frac{1}{4}$ gibi düşünerek payı $-7$ yapma!
- Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirme: Pay paydaya bölünür. Bölüm tam kısım, kalan pay, bölen ise payda olur.
- Örnek: $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
- Rasyonel Sayıların Eşitlikleri: Bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamı, tam sayılı kesir olarak yazılabilir.
- Örnek: $4 + \frac{3}{5} = 4\frac{3}{5}$
- ⚠️ Dikkat: $6\frac{1}{4}$ ifadesi $6 \times \frac{1}{4}$ anlamına gelmez! Bu ifade $6 + \frac{1}{4}$ anlamına gelir.
Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri ➕➖
- Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.
- Paydalar eşit değilse, kesirler uygun sayılarla genişletilerek veya sadeleştirilerek ortak bir paydada (genellikle en küçük ortak katlarında) eşitlenir.
- Paydalar eşitlendikten sonra, paylar toplanır veya çıkarılır, payda ise aynı kalır.
- 💡 İpucu: İşaretlere çok dikkat et! Özellikle eksi işaretinin parantez dışından dağılması veya iki eksi işaretinin yan yana gelmesi $( - (- \frac{1}{2}) = + \frac{1}{2} )$ sıkça karıştırılır.
- Örnek: $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{12} - \frac{1}{24}$ işlemini yaparken tüm paydaları 24'te eşitleyebiliriz.
$\frac{1 \times 12}{2 \times 12} - \frac{1 \times 4}{6 \times 4} + \frac{1 \times 2}{12 \times 2} - \frac{1}{24} = \frac{12}{24} - \frac{4}{24} + \frac{2}{24} - \frac{1}{24} = \frac{12-4+2-1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$
Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️
- Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
- Çarpma işlemine başlamadan önce varsa sadeleştirmeler yapmak işlemi kolaylaştırır. (Çapraz sadeleştirme dahil)
- 💡 İpucu: Tam sayılı kesirleri çarpmadan önce mutlaka bileşik kesre çevir!
- Örnek: $\frac{1}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{1 \times 3}{12 \times 2} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ (veya $3$ ile $12$'yi sadeleştirip $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$)
- Çarpma İşleminin Dağılma Özelliği: Bir rasyonel sayı, parantez içindeki toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağıtılabilir.
- $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$
- Örnek: $\frac{5}{6} \times (\frac{1}{3} + \frac{2}{9}) = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{2}{9}$
Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi ➗
- Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken, birinci kesir (bölünen) aynen yazılır, ikinci kesir (bölen) ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
- 💡 İpucu: Tam sayılı kesirleri bölmeden önce mutlaka bileşik kesre çevir!
- Örnek: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
- Karmaşık Kesirler: Bir kesrin payında veya paydasında da kesirli ifadeler bulunabilir. Bu durumda ana kesir çizgisi bölme işlemini temsil eder.
- Örnek: $\frac{\frac{1}{5} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}}$ ifadesinde önce pay ve paydayı ayrı ayrı hesaplayıp sonra bölme işlemi yapmalısın.
İşlem Önceliği 🔢
- Birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlem sırası çok önemlidir:
- Parantez içindeki işlemler
- Üslü ifadeler (7. sınıfta rasyonel sayılar için çok sık karşılaşılmaz)
- Çarpma ve Bölme işlemleri (soldan sağa doğru)
- Toplama ve Çıkarma işlemleri (soldan sağa doğru)
- Örnek: $(1 + \frac{1}{2}) \cdot (1 + \frac{1}{3}) \cdot (1 + \frac{1}{4})$ gibi ifadelerde önce parantez içindeki toplama işlemlerini yapmalısın.
Rasyonel Sayıların Özellikleri 🌟
- Çarpma İşlemine Göre Tersi (Çarpmaya Göre Ters): Bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersi, pay ve paydasının yer değiştirmesiyle bulunur. Bir sayının çarpmaya göre tersiyle çarpımı 1'dir (etkisiz eleman).
- Örnek: $\frac{a}{b}$ sayısının çarpmaya göre tersi $\frac{b}{a}$'dır.
- Örnek: $-2\frac{1}{4}$ sayısının çarpmaya göre tersi için önce bileşik kesre çevir: $-\frac{9}{4}$. Tersi: $-\frac{4}{9}$.
- ⚠️ Dikkat: İşaret değişmez!
- Toplama İşlemine Göre Tersi (Toplamaya Göre Ters): Bir rasyonel sayının toplamaya göre tersi, sayının işaretinin değiştirilmesiyle bulunur. Bir sayının toplamaya göre tersiyle toplamı 0'dır.
- Örnek: $\frac{a}{b}$ sayısının toplamaya göre tersi $-\frac{a}{b}$'dir.
- Örnek: $-1\frac{2}{3}$ sayısının toplamaya göre tersi için önce bileşik kesre çevir: $-\frac{5}{3}$. Tersi: $+\frac{5}{3}$.
- Çarpma İşleminin Etkisiz Elemanı: 1 sayısıdır. Bir sayıyı 1 ile çarpmak sayının değerini değiştirmez.
Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama 📏
- Rasyonel sayıları sıralarken veya karşılaştırırken genellikle paydaları eşitlemek en kolay yöntemdir. Paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür.
- Paylar eşitse, paydası küçük olan kesir daha büyüktür (pozitif sayılar için). Örneğin, $\frac{1}{4} > \frac{1}{5}$.
- Negatif Rasyonel Sayılar: Negatif sayılarda durum tersine döner. Sayı doğrusunda sıfıra daha yakın olan negatif sayı daha büyüktür.
- Örnek: $-\frac{1}{4} > -\frac{1}{3}$ çünkü $-\frac{1}{4}$ sıfıra daha yakındır.
- 💡 İpucu: Negatif rasyonel sayıları sıralarken önce pozitif gibi sırala, sonra sıralamayı tersine çevir.
- Ondalık Gösterimle Karşılaştırma: Bazı rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirerek karşılaştırmak daha kolay olabilir.
- Örnek: $-0,05$ ile $-\frac{1}{8}$'i karşılaştırırken, $-\frac{1}{8} = -0,125$ olduğundan $-0,05 > -0,125$ diyebiliriz.
- Sayı Doğrusu: Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir. Sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundakiler negatiftir. Sağdaki sayılar soldakilerden her zaman daha büyüktür.
- İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Bulma: İki rasyonel sayı arasına sonsuz çoklukta rasyonel sayı yerleştirilebilir. Genişletme yaparak aradaki sayıları bulabiliriz.
- Örnek: $\frac{1}{4}$ ile $\frac{1}{3}$ arasındaki $\frac{a}{24}$ sayısını bulmak için paydaları eşitle: $\frac{6}{24} < \frac{a}{24} < \frac{8}{24}$. Buradan $a=7$ bulunur.
Rasyonel Sayılarla Problem Çözme 🧠
- Bir Çokluğun Kesir Kadarını Bulma: Bir sayının kesir kadarını bulmak için o sayı ile kesri çarparız.
- Örnek: 120 km yolun $\frac{3}{4}$'ü = $120 \times \frac{3}{4} = 90$ km.
- Örnek: Bir dikdörtgenin uzun kenarı 18 cm, kısa kenarı uzun kenarının $\frac{2}{3}$'ü ise kısa kenar $18 \times \frac{2}{3} = 12$ cm'dir.
- Kesri Verilen Sayının Tamamını Bulma: Bir sayının kesir kadarı verildiyse, sayının tamamını bulmak için verilen sayıyı kesrin tersiyle çarparız veya verilen sayıyı paya bölüp payda ile çarparız.
- Örnek: Kısa kenarı 12 cm olan bir dikdörtgenin kısa kenarı, uzun kenarının $\frac{2}{3}$'ü ise, uzun kenarı bulmak için $12 \div \frac{2}{3} = 12 \times \frac{3}{2} = 18$ cm'dir.
- Gerçek Hayat Problemleri: Yakıt tüketimi, alan hesaplama, oranlar gibi günlük hayattan senaryolar içeren problemlerde rasyonel sayılarla dört işlem becerilerini kullanman gerekir.
- Problemi dikkatlice oku ve verilenleri not al.
- Hangi işlemleri yapman gerektiğini belirle.
- Gerekirse birim dönüşümlerine dikkat et (örneğin, 100 km için verilen yakıtı 50 km için hesaplarken yarısını almak).
- Adım adım çözüme ulaş.
- Grafik Yorumlama: Çizgi grafikleri veya sütun grafikleri üzerinde verilen verileri rasyonel sayılarla ifade ederek oran, çarpım gibi değerleri hesaplayabilirsin.
Bu ders notları, rasyonel sayılar konusunda karşılaşabileceğin temel kavramları ve işlem becerilerini pekiştirmene yardımcı olacaktır. Bol bol pratik yaparak konuya hakimiyetini artırabilirsin! 💪