🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, rasyonel sayılar konusundaki temel bilgileri pekiştirmek ve sınavlarda karşılaşabileceğin farklı soru tiplerine hazırlanmak için tasarlandı. Testteki sorular, rasyonel sayıların tanımından başlayarak, ondalık gösterimlere, sayı doğrusunda gösterimine, dört işleme ve problem çözmeye kadar geniş bir yelpazeyi kapsıyor. Hadi, rasyonel sayılar dünyasına derinlemesine bir dalış yapalım! 🚀

Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

• Bir rasyonel sayı, a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, a/b şeklinde yazılabilen sayılara denir.
• Örnek: 3/4, -2/5, 7 (7/1 olarak yazılabilir), 0 (0/1 olarak yazılabilir).
• ⚠️ Dikkat: Bir rasyonel sayıda payda ASLA sıfır olamaz! Paydanın sıfır olduğu durumlarda sayı tanımsız olur ve rasyonel sayı değildir. Örneğin, 5/0 bir rasyonel sayı değildir.

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi 🔢

• Her rasyonel sayı bir ondalık sayı olarak gösterilebilir. Bu gösterimler ya sonlu (biten) ya da devirli (tekrarlayan) olur.

Sonlu Ondalık Gösterim

• Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri yapılabilen (genişletme veya sadeleştirme ile) rasyonel sayılar sonlu ondalık gösterime sahiptir.
• Örnek: 3/4 = 75/100 = 0,75.
• 12/5 = 24/10 = 2,4.

Devirli Ondalık Gösterim

• Paydası 10'un kuvvetleri yapılamayan rasyonel sayılar (paydada 2 ve 5 dışında asal çarpan varsa) devirli ondalık gösterime sahiptir.
• Devreden kısım üzerine bir çizgi (¯) konularak gösterilir.
• Örnek: 1/3 = 0,333... = 0,‾3.
• 23/3 sayısını ondalık gösterime çevirmek için 23'ü 3'e böleriz: 23 ÷ 3 = 7,666... = 7,‾6.

Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme

• Ondalık sayıyı paya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar 10'un kuvvetini paydaya yazarız. Sonra sadeleştiririz.
• Örnek: 0,72 = 72/100. En sade hali için 4 ile sadeleştiririz: 18/25.
• 3,8 = 38/10 = 19/5. Tam sayılı kesir olarak 3 tam 4/5 veya 3 tam 8/10 olarak da yazılabilir.

Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme

• Kural: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0)
• Örnek: 0,‾6 = 6/9 = 2/3.
• Örnek: 0,‾13 = 13/99.
• Örnek: 0,2‾6 = (26 - 2) / 90 = 24/90 = 4/15.
• Örnek: 1,‾6 = (16 - 1) / 9 = 15/9 = 5/3.
• 💡 İpucu: Bu kuralı iyi öğrenmek, devirli ondalık sayılarla ilgili sorularda sana hız kazandırır.

Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme ve Karşılaştırma ↔️

• Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için önce tam sayı kısmını belirleriz. Sonra kesir kısmına göre iki tam sayı arasını eşit parçalara böleriz.
• Örnek: -3,6 sayısını göstermek için -3 ile -4 arasını 10 eşit parçaya böleriz ve -3'ten sonra 6. çizgiyi işaretleriz.
• 💡 İpucu: Negatif sayılarda sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayı büyür, sola doğru gidildikçe küçülür. -4 ile -5 arasında bir sayı -4,1, -4,2 gibi sayılardır.
• İki rasyonel sayıya eşit uzaklıktaki sayıyı bulmak için sayıların ortalamasını alırız. Örneğin, a ve b sayılarına eşit uzaklıktaki sayı (a+b)/2'dir.

Rasyonel Sayılarla Dört İşlem ➕➖✖️➗

Toplama ve Çıkarma

• Paydalar eşitse: Paylar toplanır/çıkarılır, payda aynen yazılır.
• Paydalar farklıysa: Paydalar eşitlenir (genişletme veya sadeleştirme ile), sonra paylar toplanır/çıkarılır.
• Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirerek işlem yapmak genellikle daha kolaydır.
• Örnek: 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1.

Çarpma

• Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
• İşlem yapmadan önce sadeleştirme yapmak, işlemi kolaylaştırır.
• Örnek: (a/b) × (c/d) = (a×c) / (b×d).

Bölme

• Birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilip çarpılır.
• Bir sayının çarpmaya göre tersi, pay ve paydasının yer değiştirmesidir. Örneğin, 8'in çarpmaya göre tersi 1/8'dir.
• Örnek: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c).

Rasyonel Sayıların Kuvvetleri (Üslü İfadeler)

• Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken hem payın hem de paydanın kuvveti alınır.
• Örnek: (1/2)² = 1² / 2² = 1/4.
• Negatif bir rasyonel sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
• Örnek: (-1/2)³ = (-1)³ / 2³ = -1/8.
• ⚠️ Dikkat: Üs parantezin dışındaysa işaret de etkilenir. (-2)² = 4 iken, -2² = -4'tür.

İşlem Önceliği

• İşlem önceliği sırası:
  1. Parantez içindeki işlemler
  2. Üslü ifadeler
  3. Çarpma veya Bölme (Soldan sağa doğru)
  4. Toplama veya Çıkarma (Soldan sağa doğru)
• 💡 İpucu: Karmaşık işlemlerde bu sıraya uymak, doğru sonuca ulaşmanın anahtarıdır.

Rasyonel Sayılarla Problem Çözme 🧠

• Problemleri dikkatlice oku ve verilenleri not al.
• Kesir problemlerinde bütünü temsil eden bir değer (örneğin, x) belirleyebilir veya paydaların EKOK'unu kullanarak işlem yapabilirsin.
• Örneğin, bir bütünün 1/6'sı kırılıyorsa, geriye 5/6'sı kalır. Kalanın 2/5'i satılıyorsa, (5/6) × (2/5)'i satılmış demektir.
• Günlük hayattan örnekler: Bir sürahideki suyun miktarı, bir ağacın boyunun uzaması gibi durumlar rasyonel sayılarla ifade edilebilir.

Rasyonel Sayılarla Denklemler (Merdivenli İşlemler) 🪜

• Bilinmeyeni bulmak için denklemi adım adım çözmelisin. Genellikle en dıştaki işlemden başlayarak içeri doğru ilerlenir.
• Örnek: 4 + 3 / (2 + 6 / (x+1)) = 5 denklemini çözerken, önce 4'ü karşıya atarak başlarsın.
• 3 / (2 + 6 / (x+1)) = 1
• Bu durumda 2 + 6 / (x+1) = 3 olmalı.
• Sonra 2'yi karşıya atarsın: 6 / (x+1) = 1.
• Buradan x+1 = 6 ve x = 5 bulunur.
• 💡 İpucu: Adım adım ve dikkatli olmak, bu tür denklemleri çözmenin anahtarıdır. Her adımda ne yaptığını kontrol et!

Bu ders notu, rasyonel sayılar ünitesindeki temel kavramları ve işlem becerilerini pekiştirmen için hazırlandı. Bol bol pratik yaparak ve farklı soru tipleri çözerek bu konuda ustalaşabilirsin. Başarılar dilerim! ✨