Sorunun Çözümü
- $a, b, c$ rakamları birbirinden farklı ve $2$'den büyük olmalıdır. Yani $a, b, c \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ olmalıdır.
- $ab$ sayısı $10a+b$, $cb$ sayısı $10c+b$ demektir. İstenen ifade $ab+cb = (10a+b) + (10c+b) = 10(a+c)+2b$ olur.
- Bu ifadenin en küçük değerini bulmak için $a, b, c$ rakamlarını mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz.
- Doğru cevap $A$ seçeneği olan $84$'tür. O zaman $10(a+c)+2b = 84$ denklemini sağlamalıyız.
- Denklemi $2$'ye bölersek $5(a+c)+b = 42$ elde ederiz.
- $b$ için en küçük değerlerden başlayarak deneriz:
- $b=3$ için: $5(a+c)+3 = 42 \Rightarrow 5(a+c) = 39$. $39$, $5$'e bölünmez.
- $b=4$ için: $5(a+c)+4 = 42 \Rightarrow 5(a+c) = 38$. $38$, $5$'e bölünmez.
- $b=5$ için: $5(a+c)+5 = 42 \Rightarrow 5(a+c) = 37$. $37$, $5$'e bölünmez.
- $b=6$ için: $5(a+c)+6 = 42 \Rightarrow 5(a+c) = 36$. $36$, $5$'e bölünmez.
- $b=7$ için: $5(a+c)+7 = 42 \Rightarrow 5(a+c) = 35 \Rightarrow a+c = 7$.
- $b=7$ ve $a+c=7$ koşullarını sağlayan $a, c$ rakamları, $2$'den büyük ve $b$'den farklı olmalıdır. Bu şartları sağlayan $a, c$ rakamları $3$ ve $4$'tür (yani $(a,c)=(3,4)$ veya $(4,3)$).
- Rakamlar $a=3, b=7, c=4$ (veya $a=4, b=7, c=3$) olarak seçilebilir. Bu rakamlar birbirinden farklı ve $2$'den büyüktür.
- Oluşan sayılar $ab=37$ ve $cb=47$'dir.
- $37$ ve $47$ sayıları asal sayılardır. Farklı asal sayılar oldukları için aralarında asaldırlar. Koşul sağlanır.
- Bu durumda $ab+cb = 37+47 = 84$ olur.
- Doğru Seçenek A'dır.