🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri konusundaki bilginizi pekiştirmek, sık yapılan hataları önlemek ve sınava daha iyi hazırlanmak için hazırlandı. Testteki sorular, bu konunun temel prensiplerini, farklı gösterimlerini, sayı doğrusu ve şekil modellerini, işlem önceliğini ve rasyonel sayıların terslerini kapsıyor. İşte bilmeniz gereken her şey! 🚀

Rasyonel Sayı Nedir?

• Bir tam sayı ve bir sıfırdan farklı tam sayı b olmak üzere, \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
• Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin, 5 sayısı \(\frac{5}{1}\) olarak yazılabilir.

Rasyonel Sayıları Farklı Şekillerde Gösterme

• Kesir Hali: \(\frac{3}{4}\), \(-\frac{1}{2}\) gibi.
• Tam Sayılı Kesir Hali: \(2\frac{1}{3}\) gibi. Bu tür kesirleri işlemlerde genellikle bileşik kesre çevirmek daha kolaydır: \(2\frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}\).
• Ondalık Gösterim Hali: \(0.75\), \(-1.5\) gibi.
  • 💡 İpucu: Ondalık sayıları kesre çevirirken, virgülden sonraki basamak sayısı kadar paydaya 10'un kuvvetlerini yazın. Örneğin, \(1.26 = \frac{126}{100}\).
• Devirli Ondalık Gösterim Hali: \(1.0\overline{5}\), \(3.\overline{2}\) gibi.
  • Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme Kuralı:

    Kesir = \(\frac{\text{Tüm sayı (virgül yokmuş gibi) - Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}}\)

    Örnek: \(3.\overline{2} = \frac{32 - 3}{9} = \frac{29}{9}\)

    Örnek: \(1.0\overline{5} = \frac{105 - 10}{90} = \frac{95}{90}\)

Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi ➕

• Paydalar Eşitse: Paylar toplanır, payda aynen yazılır.

  Örnek: \(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}\)

• Paydalar Farklıysa: Önce paydalar eşitlenir (genellikle en küçük ortak katları olan EKOK'ta eşitlenir), sonra paylar toplanır.

  Örnek: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) için paydalar 6'da eşitlenir:

  \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{6}\) ve \(\frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{6}\). Sonuç: \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)
• Negatif Rasyonel Sayılarla Toplama: Tam sayılardaki toplama kuralları geçerlidir.
  • Aynı işaretli iki sayıyı toplarken: Sayıların mutlak değerleri toplanır, ortak işaret sonuca yazılır. \((-\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{4}) + (-\frac{2}{4}) = -\frac{3}{4}\)
  • Farklı işaretli iki sayıyı toplarken: Sayıların mutlak değerleri arasındaki fark bulunur, mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır. \((-\frac{3}{5}) + (\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}\)

Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

• Çıkarma İşlemini Toplamaya Çevirme: Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, çıkan sayının toplama işlemine göre tersi ile toplama işlemine dönüştürülebilir. Bu, özellikle birden fazla çıkarma işlemi olduğunda karışıklığı önler.

  \(a - b = a + (-b)\)

  Örnek: \(\frac{5}{8} - \frac{1}{2} = \frac{5}{8} + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + (-\frac{4}{8}) = \frac{1}{8}\)

  Örnek: \(\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + (\frac{2}{3}) = \frac{3}{3} = 1\)

• ⚠️ Dikkat: İki eksi yan yana geldiğinde artıya dönüşür! \(-(-a) = +a\)

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi ve İşlemler 📏

• Sayı doğrusunda sağa doğru gitmek artış (toplama), sola doğru gitmek azalış (çıkarma) anlamına gelir.
• Başlangıç noktası genellikle 0'dır. İlk sayı başlangıç noktasından itibaren gösterilir.
• Sonraki sayılar, gelinen noktadan itibaren eklenir veya çıkarılır.
• Okların yönü ve uzunluğu, eklenen/çıkarılan sayının işaretini ve büyüklüğünü gösterir.
• 💡 İpucu: Sayı doğrusundaki her bir birim aralığın kaç eş parçaya ayrıldığına dikkat edin. Bu, paydanızı belirler.

Rasyonel Sayılarla İşlem Modelleri (Şekil Modelleri) 🖼️

• Genellikle dikdörtgen veya daire gibi şekillerin eş parçalara ayrılmasıyla gösterilir.
• Her bir parça, kesrin paydasını, taranan veya işaretlenen kısım ise payını temsil eder.
• Toplama işleminde farklı renklerle taranan kısımlar birleştirilir. Çıkarma işleminde ise taranan kısımlardan çıkarılacak miktar silinir.
• 💡 İpucu: Farklı paydalara sahip kesirleri modelle toplarken, ortak paydada birleştirmek için şekli daha küçük eş parçalara ayırmanız gerekebilir.

Rasyonel Sayıların Toplama İşlemine Göre Tersi (Zıt İşaretlisi) 🔄

• Bir rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretinin değiştirilmiş halidir.
• Bir sayının toplama işlemine göre tersi ile toplamı her zaman 0'dır.

  Örnek: \(\frac{3}{4}\) sayısının toplama işlemine göre tersi \(-\frac{3}{4}\)'tür. \(\frac{3}{4} + (-\frac{3}{4}) = 0\)

  Örnek: \(-1\frac{3}{4} = -\frac{7}{4}\) sayısının toplama işlemine göre tersi \(\frac{7}{4}\)'tür.

• Çarpma İşlemine Göre Tersi (Ters Çarpım): Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, pay ve paydasının yer değiştirmesidir. Sayı ile çarpma işlemine göre tersinin çarpımı 1'dir.

  Örnek: \(-\frac{2}{3}\) sayısının çarpma işlemine göre tersi \(-\frac{3}{2}\)'dir.

İşlem Önceliği 🔢

• Birden fazla işlem içeren ifadelerde belirli bir sıra takip edilmelidir:
  1. Parantez içindeki işlemler (önce içteki parantezden başlanır).
  2. Üslü ifadeler (7. sınıfta henüz bu testte çok yok).
  3. Çarpma veya Bölme (soldan sağa doğru).
  4. Toplama veya Çıkarma (soldan sağa doğru).
• ⚠️ Dikkat: Özellikle çıkarma işlemlerinde parantezleri doğru açmak çok önemlidir. Parantez önündeki eksi işareti, parantez içindeki tüm terimlerin işaretini değiştirir.

  Örnek: \(\frac{1}{3} - (\frac{5}{7} - \frac{8}{11})\) yerine \(\frac{1}{3} - \frac{5}{7} + \frac{8}{11}\) yazmak gerekir.

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama ↔️

• Rasyonel sayıları karşılaştırırken veya sıralarken:
  • Paydaları eşitse, payı büyük olan daha büyüktür.
  • Payları eşitse, pozitif sayılarda paydası küçük olan daha büyüktür; negatif sayılarda paydası küçük olan daha küçüktür.
  • Hem pay hem payda farklıysa, paydaları eşitlemek en güvenli yoldur.
  • Ondalık gösterime çevirerek de karşılaştırma yapılabilir.
  • Sayı doğrusunda sağa doğru olan sayılar daha büyüktür.
• 💡 İpucu: Negatif sayılarda sıralama yaparken pozitifmiş gibi düşünüp tersini alın. Örneğin, \(-\frac{1}{2}\) ve \(-\frac{1}{3}\) arasında \(\frac{1}{3} > \frac{1}{2}\) olduğu için \(-\frac{1}{3} > -\frac{1}{2}\) olur.

Genel İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar 🧐

• İşaretlere Dikkat: Özellikle negatif sayılarla işlem yaparken işaret hataları çok sık yapılır. Her adımda işaretleri kontrol edin.
• Payda Eşitleme: Toplama ve çıkarma yaparken payda eşitlemeyi unutmayın ve EKOK'u doğru bulun.
• Sadeleştirme: İşlem sonunda bulduğunuz kesri en sade haline getirmeyi unutmayın.
• Tam Sayılı Kesirler: İşlemlere başlamadan önce tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmek genellikle daha pratik ve hatasız sonuç verir.
• Problem Çözme: Uzun işlemlerde veya problem sorularında adımları tek tek yazmak, hata yapma olasılığını azaltır.

Bu notları dikkatlice okuyun, örnekleri anlamaya çalışın ve bol bol pratik yapın. Başarı sizinle olsun! 💪