Bu soruyu çözmek için, iç içe geçmiş karelerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi adım adım inceleyelim.

• 1. En İçteki Karenin Kenar Uzunluğunu Belirleyelim:

En içteki karenin bir kenar uzunluğuna \(a\) diyelim. Bu, \(K_1\) karesi olsun.

• 2. Karelerin Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:

Soruda verilen kurala göre: "Her karenin bir kenar uzunluğu, içindeki en büyük karenin bir kenar uzunluğunun 2 katıdır." Bu, her bir dıştaki karenin kenar uzunluğunun, hemen içindeki karenin kenar uzunluğunun 2 katı olduğu anlamına gelir.

• En içteki kare (\(K_1\)): Kenar uzunluğu \(a\).
• İkinci kare (\(K_2\)): \(K_1\)'in dışındaki ilk kare. Kenar uzunluğu \(2 \times a\).
• Üçüncü kare (\(K_3\)): \(K_2\)'nin dışındaki kare. Kenar uzunluğu \(2 \times (2a) = 2^2 a\).
• En dıştaki kare (\(K_4\)): \(K_3\)'ün dışındaki son kare. Kenar uzunluğu \(2 \times (2^2 a) = 2^3 a\).

Buna göre, en dıştaki karenin kenar uzunluğu \(a_{dış} = 2^3 a\) olur.

• 3. Karelerin Alanlarını Hesaplayalım:

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesidir (\(Alan = kenar^2\)).

• En içteki karenin alanı (\(A_{iç}\)): \(a^2\).
• En dıştaki karenin alanı (\(A_{dış}\)): \((2^3 a)^2 = (2^3)^2 \times a^2 = 2^{3 \times 2} \times a^2 = 2^6 a^2\).
• 4. Alanların Oranını Bulalım:

En dıştaki karenin alanının, en içteki karenin alanının kaç katı olduğunu bulmak için oranlarını hesaplarız:

\(\frac{A_{dış}}{A_{iç}} = \frac{2^6 a^2}{a^2} = 2^6\)

Sonuç olarak, en dıştaki karenin alanı, en içteki karenin alanının \(2^6\) katıdır.

Cevap C seçeneğidir.