Bu problemde, sürtünmesiz bir ortamda cismin başlangıçtaki mekanik enerjisinin, yay sıkıştığında tamamen yay potansiyel enerjisine dönüşümünü inceleyeceğiz. Mekanik enerji korunumu prensibini kullanacağız.
- Başlangıç Enerjisi ($E_{başlangıç}$): Cisim hem belirli bir yükseklikte olduğu için potansiyel enerjiye, hem de belirli bir hıza sahip olduğu için kinetik enerjiye sahiptir.
- Son Enerji ($E_{son}$): Cisim yayı en fazla sıkıştırdığında anlık olarak durur. Bu noktada tüm enerji yay potansiyel enerjisine dönüşmüştür. Yükseklik sıfır kabul edilir ve kinetik enerji sıfırdır.
Verilenler:
- Kütle (m) = 2 kg
- Başlangıç yüksekliği (h) = 20 m
- Başlangıç hızı ($v_0$) = 10 m/s
- Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/s²
- Yay sabiti (k) = 1000 N/m
1. Mekanik Enerji Korunumu Denklemini Yazalım:
Sürtünmesiz ortamda mekanik enerji korunur:
$$E_{başlangıç} = E_{son}$$
$$Kinetik Enerji_{başlangıç} + Potansiyel Enerji_{gravitasyonel, başlangıç} = Potansiyel Enerji_{yay, son}$$
$$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}kx^2$$
Burada x, yayın sıkışma miktarıdır.
2. Bilinen Değerleri Yerine Koyalım:
$$\frac{1}{2}(2 \text{ kg})(10 \text{ m/s})^2 + (2 \text{ kg})(10 \text{ m/s}^2)(20 \text{ m}) = \frac{1}{2}(1000 \text{ N/m})x^2$$
3. Denklemi Çözelim:
$$\frac{1}{2}(2)(100) + (2)(10)(20) = \frac{1}{2}(1000)x^2$$
$$100 + 400 = 500x^2$$
$$500 = 500x^2$$
$$x^2 = \frac{500}{500}$$
$$x^2 = 1$$
$$x = \sqrt{1}$$
$$x = 1 \text{ m}$$
Cevap C seçeneğidir.