Soru Çözümü
- Cisme uygulanan kuvvet-yol grafiğinin altında kalan alan, cisme etki eden net işi ($W$) verir.
- İş-Enerji Teoremi'ne göre, yapılan net iş cismin kinetik enerji değişimine eşittir: $W = \Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$. Başlangıçta durmakta olduğu için $v_0 = 0$.
- $0$ ile $x$ yolu arasındaki iş ($W_1$): Grafiğin ilk bölümü bir üçgendir. $W_1 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot F = \frac{Fx}{2}$
- Bu iş, cismin $x$ yolundaki hızına ($v_x$) karşılık gelen kinetik enerjiye eşittir: $W_1 = \frac{1}{2}mv_x^2$. Buna göre, $\frac{Fx}{2} = \frac{1}{2}mv_x^2 \implies Fx = mv_x^2$. (Bu temel ilişkimizdir)
- $x$ ile $2x$ yolu arasındaki iş ($W_2$): Grafiğin bu bölümü bir dikdörtgendir. $W_2 = (2x - x) \cdot F = Fx$. Temel ilişkiyi kullanarak, $W_2 = mv_x^2$.
- $2x$ ile $3x$ yolu arasındaki iş ($W_3$): Grafiğin bu bölümü bir yamuktur. $W_3 = \frac{(F + 2F)}{2} \cdot (3x - 2x) = \frac{3F}{2} \cdot x = \frac{3Fx}{2}$. Temel ilişkiyi kullanarak, $W_3 = \frac{3}{2}mv_x^2$.
- $0$ ile $3x$ yolu arasındaki toplam iş ($W_{toplam}$): $W_{toplam} = W_1 + W_2 + W_3 = \frac{Fx}{2} + Fx + \frac{3Fx}{2} = \frac{Fx + 2Fx + 3Fx}{2} = \frac{6Fx}{2} = 3Fx$. Temel ilişkiyi kullanarak, $W_{toplam} = 3mv_x^2$.
- Bu toplam iş, cismin $3x$ yolundaki hızı ($v_{3x}$) ile kazandığı kinetik enerjiye eşittir: $W_{toplam} = \frac{1}{2}mv_{3x}^2$. $3mv_x^2 = \frac{1}{2}mv_{3x}^2$.
- Denklemden $m$ kütlesini sadeleştirerek $v_{3x}$ değerini bulalım: $3v_x^2 = \frac{1}{2}v_{3x}^2 \implies 6v_x^2 = v_{3x}^2$. $v_{3x} = \sqrt{6v_x^2} = v_x\sqrt{6}$.
- Soruda cismin $x$ yolu sonundaki hızının $9$ olduğu belirtilmiştir ($v_x = 9$). Bu durumda, $3x$ yolu sonundaki hızı $v_{3x} = 9\sqrt{6}$ olur. "3x yolu sonundaki hızı kaç 9'dir?" ifadesi, $v_{3x}$'in $9$'un kaç katı olduğunu sormaktadır. $v_{3x} = K \cdot 9 \implies K = \sqrt{6}$.
- Doğru Seçenek B'dır.