Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:
- 1. Verilen Bilgileri ve Simetriyi Kullanma:
Cisim yerden \(v_0\) hızıyla yukarı atılıyor. 45 m yükseklikteki yatay hizada ilk geçişi (yukarı çıkarken) ile ikinci geçişi (aşağı inerken) arasındaki süre 8 saniyedir. Düşey atış hareketinde, aynı yükseklikteki hızların büyüklükleri eşittir ve tepe noktasına çıkış süresi ile iniş süresi simetriktir.
Bu durumda, 45 m yükseklikten tepe noktasına çıkış süresi ile tepe noktasından 45 m yüksekliğe iniş süresi birbirine eşittir. Toplam süre 8 saniye olduğuna göre, bu sürelerin her biri \(t = 8 \text{ s} / 2 = 4 \text{ s}\) olacaktır.
- 2. 45 m Yükseklikteki Hızı Bulma:
Cisim 45 m yükseklikteyken, tepe noktasına ulaşması 4 saniye sürer ve tepe noktasında hızı 0 olur. Yer çekimi ivmesini \(g = 10 \text{ m/s}^2\) alırsak, 45 m yükseklikteki hızı (\(v_{45}\)) şu formülle bulabiliriz:
\[v_f = v_i - gt\]
Burada \(v_f = 0\) (tepe noktasındaki hız), \(v_i = v_{45}\) (45 m yükseklikteki hız) ve \(t = 4 \text{ s}\).
\[0 = v_{45} - (10 \text{ m/s}^2) \cdot (4 \text{ s})\]
\[v_{45} = 40 \text{ m/s}\]
Yani, cismin 45 m yükseklikteki hızı (yukarı çıkarken veya aşağı inerken) 40 m/s'dir.
- 3. Başlangıç Hızını (\(v_0\)) Bulma:
Şimdi cismin yerden 45 m yüksekliğe çıkış hareketini inceleyelim. Başlangıç hızı \(v_0\), son hız (45 m yükseklikteki hız) \(v_{45} = 40 \text{ m/s}\) ve yükseklik \(h = 45 \text{ m}\) dir. Hız-yol formülünü kullanabiliriz:
\[v_f^2 = v_i^2 - 2gh\]
Burada \(v_f = v_{45} = 40 \text{ m/s}\), \(v_i = v_0\) ve \(h = 45 \text{ m}\).
\[(40 \text{ m/s})^2 = v_0^2 - 2 \cdot (10 \text{ m/s}^2) \cdot (45 \text{ m})\]
\[1600 = v_0^2 - 900\]
\[v_0^2 = 1600 + 900\]
\[v_0^2 = 2500\]
\[v_0 = \sqrt{2500}\]
\[v_0 = 50 \text{ m/s}\]
Cevap B seçeneğidir.