Verilen soruda, aynı maddeden yapılmış X ve Y küresel cisimlerinin limit hızları oranı istenmektedir. Limit hıza ulaşıldığında, cisim üzerindeki yerçekimi kuvveti (ağırlık) ile hava sürtünme kuvveti birbirine eşit olur.

• 1. Yerçekimi Kuvveti (Ağırlık):

Bir kürenin kütlesi \(m = \rho V\) formülüyle bulunur, burada \(\rho\) yoğunluk ve \(V\) hacimdir. Kürenin hacmi \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\) olduğundan, kütle \(m = \rho \frac{4}{3}\pi R^3\) olur. Yerçekimi kuvveti (ağırlık) ise \(F_g = mg\) olduğundan:

\[F_g = \rho \frac{4}{3}\pi R^3 g\]

• 2. Hava Sürtünme Kuvveti:

Hava sürtünme kuvveti genellikle \(F_{sürtünme} = k A v^2\) formülüyle ifade edilir, burada \(k\) sürtünme katsayısı, \(A\) cismin hareket yönüne dik kesit alanı ve \(v\) hızdır. Küresel bir cisim için kesit alanı \(A = \pi R^2\) olduğundan:

\[F_{sürtünme} = k \pi R^2 v^2\]

• 3. Limit Hız Durumu:

Limit hıza ulaşıldığında, yerçekimi kuvveti ile hava sürtünme kuvveti birbirine eşittir (\(F_g = F_{sürtünme}\)):

\[\rho \frac{4}{3}\pi R^3 g = k \pi R^2 v^2\]

Bu denklemde \(\pi R^2\) terimini her iki taraftan sadeleştirelim:

\[\rho \frac{4}{3} R g = k v^2\]

Limit hızı \(v\) için denklemi düzenlersek:

\[v^2 = \frac{\rho \frac{4}{3} R g}{k}\]

\[v = \sqrt{\frac{4 \rho g}{3k}} \sqrt{R}\]

Burada \(\rho\), \(g\) ve \(k\) sabitler olduğundan, limit hız \(v\) kürenin yarıçapının karekökü ile doğru orantılıdır: \(v \propto \sqrt{R}\).

• 4. X ve Y Cisimleri İçin Oranlama:

Cisim X'in yarıçapı \(R_X = r\), cisim Y'nin yarıçapı \(R_Y = 4r\)'dir. Limit hızlar için orantıyı yazalım:

\[\frac{\vartheta_X}{\vartheta_Y} = \frac{\sqrt{R_X}}{\sqrt{R_Y}}\]

Değerleri yerine koyarsak:

\[\frac{\vartheta_X}{\vartheta_Y} = \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{4r}}\]

\[\frac{\vartheta_X}{\vartheta_Y} = \frac{\sqrt{r}}{2\sqrt{r}}\]

\[\frac{\vartheta_X}{\vartheta_Y} = \frac{1}{2}\]

Cevap B seçeneğidir.