Limit hız, bir cismin hava sürtünmesi ile ağırlığının birbirini dengelediği andaki sabit hızıdır. Bu durumda net kuvvet sıfırdır.
- 1. Limit Hız Koşulu:
Cisim limit hıza ulaştığında, yerçekimi kuvveti (ağırlık) hava sürtünme kuvvetine eşit olur.
\(F_{yerçekimi} = F_{sürtünme}\)
- 2. Kuvvet Formülleri:
Yerçekimi kuvveti:
\(F_{yerçekimi} = mg\)
Hava sürtünme kuvveti (genellikle hızın karesiyle orantılıdır):
\(F_{sürtünme} = \frac{1}{2} \rho C A v_{limit}^2\)
Burada \(\rho\) hava yoğunluğu, \(C\) hava sürtünme katsayısı, \(A\) cismin kesit alanı ve \(v_{limit}\) limit hızdır.
- 3. Sabit Terimlerin Belirlenmesi:
Soruda verilen bilgilere göre:
- Cisimler eşit yarıçaplı küresel cisimlerdir, bu nedenle kesit alanları \(A = \pi r^2\) birbirine eşittir.
- Hava sürtünme katsayısı her iki cisim için eşittir (\(C\)).
- Hava yoğunluğu (\(\rho\)) ve yerçekimi ivmesi (\(g\)) ortam için sabittir.
Bu durumda, hava sürtünme kuvveti formülündeki \(\frac{1}{2} \rho C A\) terimi her iki cisim için sabittir. Bu sabiti \(K\) olarak tanımlayalım:
\(K = \frac{1}{2} \rho C A\)
Böylece sürtünme kuvveti \(F_{sürtünme} = K v_{limit}^2\) şeklinde yazılabilir.
- 4. Kütle ve Limit Hız İlişkisi:
Limit hız koşulunu kullanarak:
\(mg = K v_{limit}^2\)
Kütleyi yalnız bırakırsak:
\(m = \frac{K}{g} v_{limit}^2\)
Burada \(K\) ve \(g\) sabit olduğundan, cismin kütlesi limit hızının karesiyle doğru orantılıdır:
\(m \propto v_{limit}^2\)
- 5. Kütle Oranının Hesaplanması:
İki cisim için kütle oranını yazalım:
\(\frac{m_2}{m_1} = \frac{\frac{K}{g} v_2^2}{\frac{K}{g} v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2\)
Soruda limit hızlar "9 ve 29" olarak verilmiş olsa da, seçeneklere bakıldığında (özellikle C seçeneği 4 olduğu için), hız oranının 2 olması beklenir. Yani, \(v_2/v_1 = 2\) olmalıdır. (Örneğin, hızlar \(v\) ve \(2v\) olabilir.)
Bu durumda kütle oranı:
\(\frac{m_2}{m_1} = (2)^2 = 4\)
Cevap C seçeneğidir.