Verilen ivme-zaman grafiği ve ilk hızın sıfır olduğu bilgisiyle, aracın hız-zaman grafiğini oluşturarak her bir aralıkta aldığı yolu hesaplayalım.

• Hız-Zaman Grafiği Oluşturma:
• 0-t aralığı: İlk hız \(v_0 = 0\). İvme \(a\). Bu aralığın sonunda hız: \(v_t = v_0 + a \cdot t = 0 + at = at\). Hız 0'dan \(at\)'ye doğrusal olarak artar.
• t-2t aralığı: Bu aralığın başlangıç hızı \(v_t = at\). İvme \(-a\). Bu aralığın sonunda hız: \(v_{2t} = v_t + (-a) \cdot (2t-t) = at - at = 0\). Hız \(at\)'den 0'a doğrusal olarak azalır.
• 2t-3t aralığı: Bu aralığın başlangıç hızı \(v_{2t} = 0\). İvme \(-a\). Bu aralığın sonunda hız: \(v_{3t} = v_{2t} + (-a) \cdot (3t-2t) = 0 - at = -at\). Hız 0'dan \(-at\)'ye doğrusal olarak azalır.

Hız-Zaman Grafiği Özeti:

• 0-t: Hız 0'dan \(at\)'ye çıkar.
• t-2t: Hız \(at\)'den 0'a iner.
• 2t-3t: Hız 0'dan \(-at\)'ye iner.

Alınan Yolların Hesaplanması (\(x = |\text{Hız-Zaman Grafiği Alanı}|\)):

• \(x_1\) (0-t aralığı): Bu aralıkta hız pozitif olduğu için alınan yol, hız-zaman grafiğinin altındaki üçgenin alanına eşittir. \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot t \cdot (at) = \frac{1}{2} at^2\).
• \(x_2\) (t-2t aralığı): Bu aralıkta hız hala pozitif olduğu için alınan yol, hız-zaman grafiğinin altındaki üçgenin alanına eşittir. \(x_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot (2t-t) \cdot (at) = \frac{1}{2} \cdot t \cdot (at) = \frac{1}{2} at^2\).
• \(x_3\) (2t-3t aralığı): Bu aralıkta hız negatif olduğu için araç ters yönde hareket eder. Alınan yol, yer değiştirmenin mutlak değeridir. Yer değiştirme: \(\Delta x_3 = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot (3t-2t) \cdot (-at) = -\frac{1}{2} at^2\). Alınan yol: \(x_3 = |\Delta x_3| = |-\frac{1}{2} at^2| = \frac{1}{2} at^2\).

Sonuç:

Hesaplamalarımıza göre \(x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{2} at^2\) ilişkisi bulunur. Bu durumda \(x_1 = x_2 = x_3\) olmalıdır.

Ancak, verilen doğru cevap C seçeneğidir. Bu durumda soruda veya seçeneklerde bir hata olduğu düşünülmektedir. Standart fizik prensiplerine göre \(x_1 = x_2 = x_3\) ilişkisi geçerlidir.