Verilen eşitsizlik: $|x+y| < |x| + |y|$

Bu eşitsizlik, mutlak değerin üçgen eşitsizliğinin özel bir durumudur. Genel olarak, üçgen eşitsizliği $|x+y| \le |x| + |y|$ şeklindedir.

Sıkı eşitsizlik olan $|x+y| < |x| + |y|$ durumunun sağlanması için x ve y'nin zıt işaretli olması ve ikisinin de sıfır olmaması gerekir.

Bunu matematiksel olarak gösterelim:

• Her iki taraf da pozitif olduğu için karelerini alabiliriz: $$(x+y)^2 < (|x|+|y|)^2$$
• Kareleri açalım: $$x^2 + 2xy + y^2 < x^2 + 2|x||y| + y^2$$
• Her iki taraftan $x^2 + y^2$ çıkaralım: $$2xy < 2|x||y|$$
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: $$xy < |xy|$$

Bu eşitsizlik, $xy < |xy|$, ancak ve ancak $xy$ negatif bir sayı ise doğrudur. Yani $xy < 0$ olmalıdır.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) $x+y>0$: Her zaman doğru değildir. Örneğin, $x=2, y=-3$ için $xy = -6 < 0$ sağlanır, ancak $x+y = -1 < 0$ olur.
• B) $x+y<0$: Her zaman doğru değildir. Örneğin, $x=3, y=-2$ için $xy = -6 < 0$ sağlanır, ancak $x+y = 1 > 0$ olur.
• C) $x-y<0$: Her zaman doğru değildir. Örneğin, $x=3, y=-2$ için $xy = -6 < 0$ sağlanır, ancak $x-y = 3 - (-2) = 5 > 0$ olur.
• D) $x-y>0$: Her zaman doğru değildir. Örneğin, $x=-2, y=3$ için $xy = -6 < 0$ sağlanır, ancak $x-y = -2 - 3 = -5 < 0$ olur.
• E) $\frac{x}{y} < 0$: $x$ ve $y$ zıt işaretli olduğunda (yani $xy < 0$ olduğunda), bir pozitif sayının bir negatif sayıya bölümü veya bir negatif sayının bir pozitif sayıya bölümü her zaman negatif olacaktır. Dolayısıyla, $\frac{x}{y} < 0$ ifadesi $xy < 0$ ifadesine denktir ve daima doğrudur.

Cevap E seçeneğidir.