Verilen ifade: $|x| + |y| = |x+y|$

Mutlak değerlerin temel bir özelliğine göre, iki sayının mutlak değerlerinin toplamı, bu sayıların toplamının mutlak değerine eşitse, bu iki sayı aynı işaretli olmalıdır. Yani, $a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere,

• $|a| + |b| = |a+b|$ eşitliği ancak ve ancak $a \cdot b \ge 0$ olduğunda geçerlidir.

Soruda $x$ ve $y$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olarak belirtilmiştir. Bu durumda $x \cdot y \ne 0$ olmalıdır.

Yukarıdaki özellik ve verilen koşul birleştirildiğinde:

• $|x| + |y| = |x+y|$ olduğundan, $x \cdot y \ge 0$ olmalıdır.
• $x$ ve $y$ sıfırdan farklı olduğu için $x \cdot y \ne 0$ olmalıdır.
• Bu iki koşulun birleşimi, $x \cdot y > 0$ olmasını gerektirir.

Bu durum, $x$ ve $y$'nin aynı işaretli olduğu anlamına gelir (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif).

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) $\frac{x}{y} < 0$: Bu, $x$ ve $y$'nin zıt işaretli olduğu anlamına gelir. Bu bizim bulduğumuz $x \cdot y > 0$ koşuluyla çelişir.
• B) $x+y \le 0$: Eğer $x=1$ ve $y=1$ ise, $x+y=2 > 0$ olur. Bu seçenek daima doğru değildir.
• C) $x+y > 0$: Eğer $x=-1$ ve $y=-1$ ise, $x+y=-2 \ngtr 0$ olur. Bu seçenek daima doğru değildir.
• D) $x-y > 0$: Eğer $x=1$ ve $y=2$ ise (ikisi de pozitif), $x-y = 1-2 = -1 \ngtr 0$ olur. Bu seçenek daima doğru değildir.
• E) $x \cdot y > 0$: Yukarıdaki analizimize göre, $x$ ve $y$ aynı işaretli olmak zorunda olduğundan, çarpımları daima pozitiftir. Bu seçenek daima doğrudur.

Cevap E seçeneğidir.