Soru, sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (0) olan uzaklığı 3 birimden çok ve 10 birimden az olan tam sayıları bulmamızı istiyor.

• Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı, o sayının mutlak değeri ile ifade edilir. Yani, bir $x$ tam sayısı için uzaklık $|x|$'tir.
• Verilen koşulları matematiksel olarak ifade edelim:

  $$3 < |x| < 10$$

• Bu mutlak değerli eşitsizliği iki ayrı durum olarak inceleyebiliriz:
• Durum 1: $x$ pozitif bir tam sayı ise ($x > 0$)

  Bu durumda $|x| = x$ olur. Eşitsizlik:

  $$3 < x < 10$$

  Bu koşulu sağlayan tam sayılar şunlardır: $4, 5, 6, 7, 8, 9$.

  Bu aralıkta 6 farklı tam sayı değeri vardır.

• Durum 2: $x$ negatif bir tam sayı ise ($x < 0$)

  Bu durumda $|x| = -x$ olur. Eşitsizlik:

  $$3 < -x < 10$$

  Eşitsizliğin her tarafını $-1$ ile çarparsak, eşitsizlik yön değiştirir:

  $$-10 < x < -3$$

  Bu koşulu sağlayan tam sayılar şunlardır: $-9, -8, -7, -6, -5, -4$.

  Bu aralıkta 6 farklı tam sayı değeri vardır.

• Toplam farklı tam sayı değerini bulmak için her iki durumdaki sayıları toplarız:

  $$6 \text{ (pozitif sayılar)} + 6 \text{ (negatif sayılar)} = 12$$

Buna göre, başlangıç noktasına olan uzaklığı 3 birimden çok 10 birimden az olan toplam 12 farklı tam sayı değeri vardır.

Cevap D seçeneğidir.