Verilen eşitsizlik: \( \left| \frac{2}{x-1} \right| \ge 1 \)

• Adım 1: Mutlak değer özelliğini kullanma

Mutlak değerin \(\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}\) özelliğini kullanarak eşitsizliği yeniden yazalım:

\(\frac{|2|}{|x-1|} \ge 1 \)

\(\frac{2}{|x-1|} \ge 1 \)

• Adım 2: Paydanın sıfır olmama koşulu ve eşitsizliği düzenleme

Payda sıfır olamaz, bu yüzden \(x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1\) olmalıdır.

\(|x-1|\) ifadesi her zaman pozitif olduğundan (çünkü \(x \ne 1\)), eşitsizliğin her iki tarafını \(|x-1|\) ile çarptığımızda eşitsizliğin yönü değişmez:

\(2 \ge |x-1|\)

Bu ifadeyi daha yaygın bir biçimde yazarsak:

\(|x-1| \le 2\)

• Adım 3: Mutlak değerli eşitsizliği çözme

\(|u| \le a\) biçimindeki eşitsizlikler \(-a \le u \le a\) olarak çözülür. Burada \(u = x-1\) ve \(a = 2\)'dir.

\(-2 \le x-1 \le 2\)

• Adım 4: x değer aralığını bulma

Eşitsizliğin her tarafına 1 ekleyelim:

\(-2 + 1 \le x-1 + 1 \le 2 + 1\)

\(-1 \le x \le 3\)

• Adım 5: Tam sayı değerlerini belirleme ve kısıtlamayı uygulama

Bu aralıktaki tam sayılar \(-1, 0, 1, 2, 3\)'tür.

Ancak, başlangıçta \(x \ne 1\) kısıtlamasını belirlemiştik. Bu nedenle, 1 değerini tam sayılar listesinden çıkarmalıyız.

Eşitsizliği sağlayan tam sayı değerleri: \(-1, 0, 2, 3\)

• Adım 6: Farklı tam sayı değerlerinin sayısını bulma

Bulduğumuz tam sayı değerleri \(-1, 0, 2, 3\) olmak üzere toplam 4 tanedir.

Cevap C seçeneğidir.