Sorunun Çözümü
- Akıntı hızı $\vec{v_a}$ ve motorların suya göre hız vektörleri $\vec{v_K}$, $\vec{v_L}$, $\vec{v_M}$ şekildeki kareli zeminden belirlenir. Bir kare birimini $v$ hız ve $L$ uzunluk olarak alalım.
- Akıntı hızı: $\vec{v_a} = (2v, 0)$
- Motorların suya göre hızları: $\vec{v_K} = (-v, 2v)$, $\vec{v_L} = (0, 2v)$, $\vec{v_M} = (v, 2v)$
- Motorların yere göre hızları, akıntı hızı eklenerek bulunur: $\vec{v_{yer}} = \vec{v_{su}} + \vec{v_a}$
- K motoru için yere göre hız: $\vec{v_{K,yer}} = (-v+2v, 2v+0) = (v, 2v)$
- L motoru için yere göre hız: $\vec{v_{L,yer}} = (0+2v, 2v+0) = (2v, 2v)$
- M motoru için yere göre hız: $\vec{v_{M,yer}} = (v+2v, 2v+0) = (3v, 2v)$
- Nehrin genişliği $h = 4L$'dir. Tüm motorların yere göre düşey hız bileşeni $2v$'dir. Bu nedenle, nehri geçme süreleri ($t$) hepsi için aynıdır: $t = \frac{h}{v_y} = \frac{4L}{2v} = \frac{2L}{v}$
- Motorların karşı kıyıya çıktıkları yatay konum ($x$) başlangıç noktası O'dan itibaren hesaplanır: $x = v_x \cdot t$
- K motorunun çıktığı nokta: $x_K = v \cdot \frac{2L}{v} = 2L$
- L motorunun çıktığı nokta: $x_L = 2v \cdot \frac{2L}{v} = 4L$
- M motorunun çıktığı nokta: $x_M = 3v \cdot \frac{2L}{v} = 6L$
- X noktasının yatay konumu, O noktasından itibaren $2L$'dir. Yani $x_X = 2L$.
- Motorların karşı kıyıya çıktıkları noktanın X'e uzaklığı ($X_K, X_L, X_M$) hesaplanır:
- $X_K$ uzaklığı: $|x_K - x_X| = |2L - 2L| = 0$
- $X_L$ uzaklığı: $|x_L - x_X| = |4L - 2L| = 2L$
- $X_M$ uzaklığı: $|x_M - x_X| = |6L - 2L| = 4L$
- Uzaklıklar karşılaştırıldığında: $0 < 2L < 4L$ olduğundan, $X_K < X_L < X_M$ ilişkisi bulunur.
- Doğru Seçenek A'dır.