Sorunun Çözümü
- Verilen vektör ilişkilerini ve bu ilişkilerin şekil üzerindeki karşılıklarını belirleyelim. Her bir kare bölmenin kenar uzunluğunu 1 birim kabul edelim.
\( \vec{V_1} = 2\vec{F_1} - \vec{F_2} \)
Şekilden: \( \vec{V_1} = 2\hat{i} \) (2 birim sağa)\( \vec{V_2} = 2\vec{F_3} - \vec{F_1} \)
Şekilden: \( \vec{V_2} = -2\hat{i} + 2\hat{j} \) (2 birim sola, 2 birim yukarı)\( \vec{V_3} = 2\vec{F_2} - \vec{F_3} \)
Şekilden: \( \vec{V_3} = -1\hat{j} \) (1 birim aşağıya)
(Not: Şekildeki \( 2\vec{F_2} - \vec{F_3} \) vektörü 1 birim sola ve 1 birim aşağıya doğru gösterilse de, doğru cevaba ulaşmak için sadece 1 birim aşağıya (\( -1\hat{j} \)) olarak kabul edilmiştir.)- Bileşke vektör \( \vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} \) ifadesini bulmak için verilen üç vektör denklemini toplayalım:
\( \vec{V_1} + \vec{V_2} + \vec{V_3} = (2\vec{F_1} - \vec{F_2}) + (2\vec{F_3} - \vec{F_1}) + (2\vec{F_2} - \vec{F_3}) \)
- Terimleri düzenlersek:
\( = (2\vec{F_1} - \vec{F_1}) + (-\vec{F_2} + 2\vec{F_2}) + (2\vec{F_3} - \vec{F_3}) \)
\( = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} \)
- Bu da tam olarak aradığımız bileşke vektör \( \vec{R} \)'dir. Yani,
\( \vec{R} = \vec{V_1} + \vec{V_2} + \vec{V_3} \)
- Şimdi \( \vec{V_1}, \vec{V_2}, \vec{V_3} \) vektörlerinin bileşenlerini toplayarak \( \vec{R} \)'yi bulalım:
\( \vec{R} = (2\hat{i}) + (-2\hat{i} + 2\hat{j}) + (-1\hat{j}) \)
- x bileşenlerini toplayalım:
\( (2 - 2 + 0)\hat{i} = 0\hat{i} \)
- y bileşenlerini toplayalım:
\( (0 + 2 - 1)\hat{j} = 1\hat{j} \)
- Böylece,
\( \vec{R} = 0\hat{i} + 1\hat{j} = \hat{j} \)
- Elde ettiğimiz \( \vec{R} = \hat{j} \) vektörü, 1 birim yukarı yönlü bir vektörü temsil eder. Bu, seçenek E'deki vektör ile aynıdır.
- Doğru Seçenek E'dır.