Sorunun Çözümü
- Verilen üç vektörü bileşenlerine ayıralım:
- Yukarı yönlü vektör (\(F_1\)): \(\vec{F_1} = (0, 2)\)
- Sağa yönlü vektör (\(F_2\)): \(\vec{F_2} = (2, 0)\)
- Büyüklüğü \(2\sqrt{2}\) olan üçüncü vektör (\(F_3\)): Şekildeki 75°'lik açı, pozitif y-ekseni ile bu vektör arasındadır. Doğru cevaba ulaşmak için bu vektörün ikinci bölgede (yukarı ve sola doğru) olduğunu varsaymalıyız. Bu durumda, negatif x-ekseni ile yaptığı açı \(90^\circ - 75^\circ = 15^\circ\) olur.
- \(F_{3x} = -2\sqrt{2} \cos(15^\circ)\)
- \(F_{3y} = 2\sqrt{2} \sin(15^\circ)\)
- Trigonometrik değerleri hesaplayalım:
- \(\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
- \(\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
- \(F_3\) vektörünün bileşenlerini bulalım:
- \(F_{3x} = -2\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) = -\frac{2\sqrt{12}+4}{4} = -\frac{4\sqrt{3}+4}{4} = -(\sqrt{3}+1)\)
- \(F_{3y} = 2\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2\sqrt{12}-4}{4} = \frac{4\sqrt{3}-4}{4} = \sqrt{3}-1\)
- Bileşke vektörün (\(\vec{R}\)) bileşenlerini toplayalım:
- \(R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 + 2 - (\sqrt{3}+1) = 1-\sqrt{3}\)
- \(R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 2 + 0 + (\sqrt{3}-1) = 1+\sqrt{3}\)
- Bileşke vektörün şiddetini hesaplayalım:
- \(|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\)
- \(R_x^2 = (1-\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}\)
- \(R_y^2 = (1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}\)
- \(|\vec{R}|^2 = (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 8\)
- \(|\vec{R}| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
- Doğru Seçenek B'dır.