Sorunun Çözümü
- Verilen vektörlerin büyüklükleri $|\vec{a}| = 3$ ve $|\vec{b}| = 4$'tür.
- Vektörler arasındaki açı $\alpha$ için $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ koşulu verilmiştir.
- İki vektörün toplamının büyüklüğü şu formülle bulunur:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha}$ - Değerleri yerine yazarsak:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4)\cos\alpha}$
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{9 + 16 + 24\cos\alpha}$
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25 + 24\cos\alpha}$ - Açı aralığı $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ olduğundan, $\cos\alpha$ değeri $0 < \cos\alpha < 1$ aralığındadır.
- Bu aralığı kullanarak $|\vec{a} + \vec{b}|$ için sınırları belirleyelim:
- $\alpha \to 90^\circ$ iken $\cos\alpha \to 0$:
$|\vec{a} + \vec{b}| > \sqrt{25 + 24(0)} = \sqrt{25} = 5$ - $\alpha \to 0^\circ$ iken $\cos\alpha \to 1$:
$|\vec{a} + \vec{b}| < \sqrt{25 + 24(1)} = \sqrt{49} = 7$
- $\alpha \to 90^\circ$ iken $\cos\alpha \to 0$:
- Dolayısıyla, $|\vec{a} + \vec{b}|$ büyüklüğü $(5, 7)$ aralığında olmalıdır.
- Verilen seçenekler arasında bu aralığa uyan tek değer 6'dır.
- Doğru Seçenek D'dir.