Verilen ifadeyi adım adım inceleyelim:

• Verilen Bilgiler:
  • b < 0 < a (yani a pozitif, b negatiftir)
  • Denklem: a|x+y-2| - b|3y-x+3| = 0
• Denklemi Yeniden Düzenleme:

  Denklemi a|x+y-2| = b|3y-x+3| şeklinde yazabiliriz.

• Mutlak Değerlerin Sıfır Olma Koşulu:

  Burada kritik nokta, a'nın pozitif ve b'nin negatif olmasıdır.

  • a > 0 olduğu için, a|x+y-2| ifadesi her zaman sıfır veya pozitif bir değer alır.
  • b < 0 olduğu için, b|3y-x+3| ifadesi her zaman sıfır veya negatif bir değer alır.

  Bir pozitif veya sıfır sayının, bir negatif veya sıfır sayıya eşit olabilmesinin tek yolu, her iki ifadenin de sıfır olmasıdır.

  Bu durumda:

  1. a|x+y-2| = 0
  2. b|3y-x+3| = 0
• Denklemleri Oluşturma:

  a > 0 olduğundan, a|x+y-2| = 0 olması için |x+y-2| = 0 olmalıdır. Bu da x+y-2 = 0 anlamına gelir.

  b < 0 olduğundan, b|3y-x+3| = 0 olması için |3y-x+3| = 0 olmalıdır. Bu da 3y-x+3 = 0 anlamına gelir.

  Böylece iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde ederiz:

  $$ \begin{cases} x + y = 2 \quad \text{(Denklem 1)} \\ -x + 3y = -3 \quad \text{(Denklem 2)} \end{cases} $$

• Denklem Sistemini Çözme:

  x değerini bulmak için bu sistemi çözelim. Denklem 1 ve Denklem 2'yi taraf tarafa toplayalım:

  (x + y) + (-x + 3y) = 2 + (-3)

  4y = -1

  y = -\frac{1}{4}

  Şimdi y değerini Denklem 1'de yerine koyalım:

  x + (-\frac{1}{4}) = 2

  x - \frac{1}{4} = 2

  x = 2 + \frac{1}{4}

  x = \frac{8}{4} + \frac{1}{4}

  x = \frac{9}{4}

Cevap A seçeneğidir.