Sorunun Çözümü
- Doğruların eksenleri kestiği noktaları bulalım:
- $d_1: x + 2y - 4 = 0$ için:
- x-eksenini kestiği nokta ($y=0$): $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Nokta: $(4, 0)$.
- y-eksenini kestiği nokta ($x=0$): $2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2$. Nokta: $(0, 2)$.
- $d_2: 2x + y - 4 = 0$ için:
- x-eksenini kestiği nokta ($y=0$): $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Nokta: $(2, 0)$.
- y-eksenini kestiği nokta ($x=0$): $y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4$. Nokta: $(0, 4)$.
- $d_1: x + 2y - 4 = 0$ için:
- Doğruların kesişim noktasını bulalım:
- Denklem sistemi:
- $x + 2y = 4$
- $2x + y = 4$
- İkinci denklemi $2$ ile çarpıp birinci denklemden çıkarırsak: $(4x + 2y) - (x + 2y) = 8 - 4 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$.
- $x = \frac{4}{3}$ değerini $2x + y = 4$ denkleminde yerine yazarsak: $2(\frac{4}{3}) + y = 4 \Rightarrow \frac{8}{3} + y = 4 \Rightarrow y = 4 - \frac{8}{3} \Rightarrow y = \frac{12 - 8}{3} \Rightarrow y = \frac{4}{3}$.
- Kesişim noktası: $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$.
- Denklem sistemi:
- Alanını bulacağımız bölgenin köşelerini belirleyelim:
- Taralı bölge, orijin $(0,0)$, $d_2$ doğrusunun x-eksenini kestiği nokta $(2,0)$, doğruların kesişim noktası $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ ve $d_1$ doğrusunun y-eksenini kestiği nokta $(0,2)$ tarafından sınırlanan bir dörtgendir.
- Dörtgenin alanını iki üçgenin toplamı olarak hesaplayalım:
- Birinci üçgen: Köşeleri $(0,0)$, $(2,0)$ ve $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$.
- Taban x-ekseni üzerinde $2$ birimdir. Yükseklik, kesişim noktasının y-koordinatı olan $\frac{4}{3}$'tür.
- Alan $A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.
- İkinci üçgen: Köşeleri $(0,0)$, $(0,2)$ ve $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$.
- Taban y-ekseni üzerinde $2$ birimdir. Yükseklik, kesişim noktasının x-koordinatı olan $\frac{4}{3}$'tür.
- Alan $A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.
- Birinci üçgen: Köşeleri $(0,0)$, $(2,0)$ ve $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$.
- Toplam alanı bulalım:
- Toplam Alan $= A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.
- Doğru Seçenek B'dır.