Sorunun Çözümü
- $d_2$ doğrusunun eğimi $m_2 = \frac{3}{4}$ olarak verilmiştir. $d_2$ doğrusunun x-ekseni ile yaptığı açıya $\alpha$ diyelim. Bu durumda $\tan \alpha = \frac{3}{4}$'tür.
- $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ olduğundan, bir dik üçgen çizilirse karşı kenar $3k$, komşu kenar $4k$ ve hipotenüs $5k$ olur. Buradan $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ ve $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ bulunur.
- $d_1$ doğrusu $x=8$ denklemiyle verilen dikey bir doğrudur. Y-ekseni de dikey bir doğrudur ($x=0$). $d_3$ doğrusu, $d_1$ ve $d_2$ doğrularının açıortayıdır ve şekilden anlaşıldığı üzere orijinden geçmektedir. Bu durumda $d_3$, $d_2$ doğrusu ile y-ekseni arasındaki açının açıortayıdır.
- $d_2$ doğrusunun y-ekseni ile yaptığı açı $90^\circ - \alpha$'dır.
- $d_3$ doğrusu bu açıyı ikiye böldüğünden, $d_3$ doğrusunun y-ekseni ile yaptığı açı $\frac{90^\circ - \alpha}{2}$ olur.
- $d_3$ doğrusunun x-ekseni ile yaptığı açı $\theta_3$ ise, $\theta_3 = 90^\circ - \frac{90^\circ - \alpha}{2} = \frac{180^\circ - 90^\circ + \alpha}{2} = \frac{90^\circ + \alpha}{2}$ olur.
- $d_3$ doğrusunun eğimi $m_3 = \tan(\theta_3) = \tan\left(\frac{90^\circ + \alpha}{2}\right)$'dir.
- Yarım açı formülü $\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ kullanılarak $A = 90^\circ + \alpha$ için eğim hesaplanır.
- $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha = -\frac{3}{5}$
- $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha = \frac{4}{5}$
- $m_3 = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{\frac{4}{5}} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{8}{4} = 2$.
- Doğru Seçenek C'dır.