Verilen iki doğru, bir karenin iki kenarını taşımaktadır. Bu durumda iki olası senaryo vardır:

• Senaryo 1: Doğrular birbirine diktir (karenin komşu kenarları).
• Senaryo 2: Doğrular birbirine paraleldir (karenin karşıt kenarları).

Öncelikle verilen doğruların eğimlerini bulalım:

• Birinci doğru: \(ax - 3y + 1 = 0\)

Eğim \(m_1 = -\frac{a}{-3} = \frac{a}{3}\)

• İkinci doğru: \(x + 4y - 2 = 0\)

Eğim \(m_2 = -\frac{1}{4}\)

Şimdi iki senaryoyu ayrı ayrı inceleyelim:

• Senaryo 1: Doğrular birbirine diktir (Komşu Kenarlar)

İki doğru dik ise eğimleri çarpımı -1'dir:

\(m_1 \cdot m_2 = -1\)

\(\left(\frac{a}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1\)

\(-\frac{a}{12} = -1\)

\(a = 12\)

Bu, 'a' için ilk olası değerdir.

• Senaryo 2: Doğrular birbirine paraleldir (Karşıt Kenarlar)

İki doğru paralel ise eğimleri eşittir:

\(m_1 = m_2\)

\(\frac{a}{3} = -\frac{1}{4}\)

\(4a = -3\)

\(a = -\frac{3}{4}\)

Bu, 'a' için ikinci olası değerdir.

Son olarak, 'a'nın alabileceği değerler çarpımını bulalım:

• Olası 'a' değerleri: \(12\) ve \(-\frac{3}{4}\)
• Çarpım: \(12 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{12}{4} \cdot (-3) = 3 \cdot (-3) = -9\)

Cevap D seçeneğidir.