Bu soruda, iki doğrunun ve x ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulmamız isteniyor. Bu bölge genellikle bir üçgen oluşturur. Çözüm adımları şu şekildedir:

• Adım 1: Doğruların Kesim Noktasını Bulma

Verilen doğru denklemleri:

1) \(5x - 2y + 20 = 0\)

2) \(x + y - 10 = 0\)

İkinci denklemden \(y\)'yi çekelim: \(y = 10 - x\).

Bu ifadeyi birinci denkleme yerine koyalım:

\(5x - 2(10 - x) + 20 = 0\)

\(5x - 20 + 2x + 20 = 0\)

\(7x = 0 \implies x = 0\)

\(x = 0\)'ı \(y = 10 - x\) denklemine yerine koyarsak:

\(y = 10 - 0 \implies y = 10\)

Doğruların kesim noktası \(P(0, 10)\)'dur.

• Adım 2: Doğruların x Ekseniyle Kesişim Noktalarını Bulma (x-kesenler)

Bir doğrunun x ekseniyle kesiştiği noktayı bulmak için \(y = 0\) değerini denkleme koyarız.

Birinci doğru için (\(5x - 2y + 20 = 0\)):

\(5x - 2(0) + 20 = 0\)

\(5x + 20 = 0 \implies 5x = -20 \implies x = -4\)

Birinci doğrunun x eksenini kestiği nokta \(A(-4, 0)\)'dır.

İkinci doğru için (\(x + y - 10 = 0\)):

\(x + 0 - 10 = 0\)

\(x = 10\)

İkinci doğrunun x eksenini kestiği nokta \(B(10, 0)\)'dır.

• Adım 3: Üçgenin Alanını Hesaplama

Şimdi elimizde üçgenin üç köşesi var:

• \(P(0, 10)\) (doğruların kesim noktası)
• \(A(-4, 0)\) (birinci doğrunun x-keseni)
• \(B(10, 0)\) (ikinci doğrunun x-keseni)

Bu üçgenin tabanı x ekseni üzerindedir ve \(A(-4, 0)\) ile \(B(10, 0)\) noktaları arasındadır.

Tabanın uzunluğu (\(b\)) = \(|10 - (-4)| = |10 + 4| = 14\) birim.

Üçgenin yüksekliği (\(h\)), kesim noktasının y-koordinatıdır. Yani \(P(0, 10)\) noktasının y-koordinatı olan \(10\)'dur.

Üçgenin alanı formülü: Alan = \(\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}\)

Alan = \(\frac{1}{2} \times 14 \times 10\)

Alan = \(7 \times 10\)

Alan = \(70\) birimkaredir.

Cevap D seçeneğidir.