Verilen bilgilere göre adım adım ilerleyelim:

• 1. Noktaların Koordinatlarını Belirleme:
• B noktasının koordinatları \((-2, 0)\) olarak verilmiştir.
• ABCD bir dikdörtgen olduğu için, A noktası x ekseni üzerinde ve B'nin solundadır. C noktası B'nin üzerinde, D noktası ise A'nın üzerindedir.
• Dikdörtgenin kenar uzunlukları AB = \(a\) ve BC = \(b\) olsun.
• Bu durumda A noktasının koordinatları \((-2-a, 0)\) olur.
• C noktasının koordinatları \((-2, b)\) olur.
• D noktasının koordinatları \((-2-a, b)\) olur.
• 2. Çevre Bilgisini Kullanma:
• Dikdörtgenin çevresi 12 birimdir: \(2(a+b) = 12\).
• Buradan \(a+b = 6\) denklemini elde ederiz.
• 3. Ağırlık Merkezi K'nın Koordinatlarını Bulma:
• K noktası, dikdörtgenin ağırlık merkezi (köşegenlerin kesim noktasıdır). K, AC köşegeninin orta noktasıdır.
• A\((-2-a, 0)\) ve C\((-2, b)\) noktalarının orta noktası K'dır:
• \(K = \left(\frac{(-2-a) + (-2)}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = \left(\frac{-4-a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).
• 4. K Noktasının d Doğrusu Üzerinde Olması:
• K noktası, denklemi \(2x + 3y = 0\) olan d doğrusu üzerindedir. K'nın koordinatlarını doğru denklemine yerine yazalım:
• \(2\left(\frac{-4-a}{2}\right) + 3\left(\frac{b}{2}\right) = 0\)
• \(-4-a + \frac{3b}{2} = 0\)
• Denklemi 2 ile çarparsak: \(-8 - 2a + 3b = 0 \Rightarrow 3b - 2a = 8\).
• 5. \(a\) ve \(b\) Değerlerini Bulma:
• İki denklemimiz var:
  1. \(a+b = 6\)
  2. \(3b - 2a = 8\)
• Birinci denklemden \(a = 6-b\) ifadesini ikinci denkleme yerine yazalım:
• \(3b - 2(6-b) = 8\)
• \(3b - 12 + 2b = 8\)
• \(5b = 20\)
• \(b = 4\)
• Şimdi \(a\) değerini bulalım: \(a = 6-b = 6-4 = 2\).
• 6. A ve C Noktalarının Kesin Koordinatlarını Bulma:
• \(a=2\) ve \(b=4\) olduğuna göre:
• A\((-2-a, 0) = (-2-2, 0) = (-4, 0)\)
• C\((-2, b) = (-2, 4)\)
• 7. A ve C Noktalarından Geçen Doğrunun Denklemini Bulma:
• A\((-4, 0)\) ve C\((-2, 4)\) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım:
• \(m = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{4}{-2+4} = \frac{4}{2} = 2\).
• Şimdi eğimi \(m=2\) olan ve A\((-4, 0)\) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım (y-y1 = m(x-x1)):
• \(y - 0 = 2(x - (-4))\)
• \(y = 2(x+4)\)
• \(y = 2x + 8\)

Cevap A seçeneğidir.