Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim.

• 1. A ve B noktalarının koordinatlarını belirleyelim:

  Şekilde O noktası orijin (0,0) olarak verilmiştir. A noktası x ekseni üzerinde, B noktası y ekseni üzerindedir. \(\angle OAB = 45^\circ\) ve \(\angle AOB = 90^\circ\) olduğundan, \(\triangle AOB\) ikizkenar dik üçgendir. Bu durumda \(|AO| = |OB|\) olmalıdır.

  B noktasının koordinatları \((0, k)\) olsun. O zaman \(|OB| = k\) birimdir. A noktası negatif x ekseni üzerinde olduğundan, \(A(-k, 0)\) olur.

• 2. AB ve BC doğrularının eğimlerini bulalım:

  A \((-k, 0)\), B \((0, k)\) ve C \((3, 2)\) noktaları için eğimleri hesaplayalım:

  • AB doğrusunun eğimi (\(m_{AB}\)):

    \(m_{AB} = \frac{k - 0}{0 - (-k)} = \frac{k}{k} = 1\)

  • BC doğrusunun eğimi (\(m_{BC}\)):

    \(m_{BC} = \frac{2 - k}{3 - 0} = \frac{2 - k}{3}\)

• 3. \(k\) değerini bulalım:

  Soruda \([AB] \perp [BC]\) olduğu belirtilmiştir. Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir:

  \(m_{AB} \cdot m_{BC} = -1\)

  \(1 \cdot \frac{2 - k}{3} = -1\)

  \(2 - k = -3\)

  \(k = 2 + 3\)

  \(k = 5\)

• 4. Noktaların kesin koordinatlarını belirleyelim:

  \(k = 5\) olduğuna göre:

  • A \((-5, 0)\)
  • O \((0, 0)\)
  • B \((0, 5)\)
  • C \((3, 2)\)
• 5. AOCB dörtgeninin alanını hesaplayalım:

  AOCB dörtgeninin alanını, \(\triangle AOB\) ve \(\triangle BOC\) üçgenlerinin alanları toplamı olarak bulabiliriz.

  • \(\triangle AOB\) alanı:

    Orijinde dik açısı olan bir dik üçgendir. Tabanı \(|AO| = 5\) birim, yüksekliği \(|OB| = 5\) birimdir.

    \(Alan(\triangle AOB) = \frac{1}{2} \cdot |AO| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2} = 12.5\) birimkare.

  • \(\triangle BOC\) alanı:

    B \((0, 5)\), O \((0, 0)\) ve C \((3, 2)\) noktalarıyla oluşan üçgendir. Taban olarak OB kenarını alabiliriz. \(|OB| = 5\) birimdir (y ekseni üzerinde).

    Bu tabana ait yükseklik, C noktasının x koordinatıdır, yani 3 birimdir.

    \(Alan(\triangle BOC) = \frac{1}{2} \cdot |OB| \cdot x_C = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7.5\) birimkare.

  • Toplam Alan:

    \(Alan(AOCB) = Alan(\triangle AOB) + Alan(\triangle BOC) = 12.5 + 7.5 = 20\) birimkare.

Cevap D seçeneğidir.