Verilen problemde, dik koordinat sisteminde \(x=6\) doğrusu ile \(y=2x\) doğrusunun iç bölgesinde bir ABCD karesi bulunmaktadır. Karenin alanını bulmak için kenar uzunluğunu belirlemeliyiz.

• Karenin kenar uzunluğuna \(s\) diyelim.
• Karenin köşeleri eksenlere paralel olduğundan, A noktasının koordinatları \((x_A, 0)\) olsun.
• Bu durumda, D noktasının koordinatları \((x_A, s)\) olur.
• C noktasının koordinatları \((x_A+s, s)\) olur.
• B noktasının koordinatları \((x_A+s, 0)\) olur.
• Şekilde D noktası \(y=2x\) doğrusu üzerinde yer almaktadır. Bu nedenle, D noktasının koordinatları bu denklemi sağlamalıdır: \[s = 2x_A\]
• Şekilde C noktası \(x=6\) doğrusu üzerinde yer almaktadır. Bu nedenle, C noktasının x-koordinatı 6 olmalıdır: \[x_A + s = 6\]
• Şimdi bu iki denklemi çözerek \(x_A\) ve \(s\) değerlerini bulalım:
  1. \(s = 2x_A\)
  2. \(x_A + s = 6\)
• Birinci denklemi ikinci denklemde yerine koyarsak: \[x_A + (2x_A) = 6\] \[3x_A = 6\] \[x_A = 2\]
• Şimdi \(x_A\) değerini birinci denklemde yerine koyarak \(s\) değerini bulalım: \[s = 2 \times 2\] \[s = 4\]
• Karenin bir kenar uzunluğu \(s=4\) birimdir.
• Karenin alanı, kenar uzunluğunun karesi olduğundan: \[Alan = s^2 = 4^2 = 16\]

Buna göre, karenin alanı 16 birimkaredir.

Cevap D seçeneğidir.