Verilen bilgilere göre ABOC dörtgeninin alanını bulmak için, dörtgeni iki üçgene ayırabiliriz: $\text{Alan(ABOC)} = \text{Alan(ABC)} + \text{Alan(BOC)}$.

• 1. $\text{Alan(BOC)}$ Hesaplanması:

  B(0,2), O(0,0) ve C(6,0) noktaları verilmiştir. BOC üçgeni, O noktasında dik açılı bir üçgendir.

  Taban uzunluğu $\text{OC} = 6 - 0 = 6$ birim.

  Yükseklik uzunluğu $\text{OB} = 2 - 0 = 2$ birim.

  $\text{Alan(BOC)} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$ birimkare.

• 2. A Noktasının Koordinatlarının Bulunması:

  Soruda $|AB| = |AC|$ ve $[AB] \perp [AC]$ olduğu belirtilmiştir. Bu, ABC üçgeninin A noktasında dik açılı bir ikizkenar üçgen olduğunu gösterir.

  A noktasının koordinatları $(x_A, y_A)$ olsun.

  Vektör $\vec{AB} = (-x_A, 2 - y_A)$ ve vektör $\vec{AC} = (6 - x_A, -y_A)$.

  a) Diklik Koşulu ($\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$):

  $(-x_A)(6 - x_A) + (2 - y_A)(-y_A) = 0 \Rightarrow x_A^2 - 6x_A + y_A^2 - 2y_A = 0 \quad (*)$

  b) Eşit Uzunluk Koşulu ($|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$):

  $(-x_A)^2 + (2 - y_A)^2 = (6 - x_A)^2 + (-y_A)^2$

  $x_A^2 + 4 - 4y_A + y_A^2 = 36 - 12x_A + x_A^2 + y_A^2$

  $4 - 4y_A = 36 - 12x_A \Rightarrow 12x_A - 4y_A = 32 \Rightarrow 3x_A - y_A = 8 \Rightarrow y_A = 3x_A - 8 \quad (**)$

  $(**)$ denklemini $(*)$ denklemine yerine koyarak $x_A$ değerlerini bulalım:

  $x_A^2 - 6x_A + (3x_A - 8)^2 - 2(3x_A - 8) = 0$

  $x_A^2 - 6x_A + 9x_A^2 - 48x_A + 64 - 6x_A + 16 = 0$

  $10x_A^2 - 60x_A + 80 = 0 \Rightarrow x_A^2 - 6x_A + 8 = 0$

  $(x_A - 2)(x_A - 4) = 0$

  Buradan $x_A = 2$ veya $x_A = 4$ bulunur.

  Eğer $x_A = 2$ ise $y_A = 3(2) - 8 = -2$. Yani A(2,-2).

  Eğer $x_A = 4$ ise $y_A = 3(4) - 8 = 4$. Yani A(4,4).

  Şekilde A noktası birinci bölgede olduğundan, A(4,4) koordinatları doğrudur.

• 3. $\text{Alan(ABC)}$ Hesaplanması:

  A(4,4), B(0,2), C(6,0) noktaları ile üçgenin alanını hesaplayabiliriz. ABC dik açılı ikizkenar üçgen olduğundan, alanı dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.

  $|AB|^2 = (4-0)^2 + (4-2)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \Rightarrow |AB| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

  $|AC|^2 = (4-6)^2 + (4-0)^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \Rightarrow |AC| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

  $\text{Alan(ABC)} = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5}) \times (2\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \times (4 \times 5) = \frac{1}{2} \times 20 = 10$ birimkare.

• 4. $\text{Alan(ABOC)}$ Hesaplanması:

  $\text{Alan(ABOC)} = \text{Alan(ABC)} + \text{Alan(BOC)}$

  $\text{Alan(ABOC)} = 10 + 6 = 16$ birimkare.

Cevap B seçeneğidir.