ABCD bir eşkenar dörtgen olduğu için, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. Bu nedenle, bir paralelkenardır.
Verilen noktalar: $A(2,0)$ ve $C(10,4)$.
Şekilde A ve B noktaları x-ekseni üzerinde yer almaktadır. Bu durumda B noktasının y-koordinatı 0'dır, yani $B(x_B, 0)$.
ABCD eşkenar dörtgen olduğundan, AB kenarı DC kenarına paraleldir ($AB \parallel DC$). AB kenarı x-ekseni üzerinde olduğu için eğimi 0'dır. Bu durumda DC kenarının da eğimi 0 olmalıdır. Bu da D ve C noktalarının y-koordinatlarının eşit olduğu anlamına gelir.
- $y_D = y_C = 4$.
- Yani D noktasının koordinatları $(x_D, 4)$ şeklindedir.
Eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları eşit olduğundan, $|AB| = |BC|$ eşitliğini kullanabiliriz.
- $|AB| = |x_B - x_A| = |x_B - 2|$ (A ve B x-ekseni üzerinde olduğu için)
- $|BC|^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2$
- $|BC|^2 = (10 - x_B)^2 + (4 - 0)^2$
- $|BC|^2 = (10 - x_B)^2 + 16$
- $|AB|^2 = |BC|^2$ eşitliğini kullanarak:
- $(x_B - 2)^2 = (10 - x_B)^2 + 16$
- $x_B^2 - 4x_B + 4 = 100 - 20x_B + x_B^2 + 16$
- $-4x_B + 4 = 116 - 20x_B$
- $16x_B = 112$
- $x_B = \frac{112}{16} = 7$
B noktasının koordinatları $B(7,0)$ olarak bulunur.
Bir paralelkenarda (ve dolayısıyla eşkenar dörtgende) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamı eşittir:
- $x_A + x_C = x_B + x_D$
- $y_A + y_C = y_B + y_D$
D noktasının x-koordinatını bulmak için $x_A + x_C = x_B + x_D$ eşitliğini kullanalım:
- $2 + 10 = 7 + x_D$
- $12 = 7 + x_D$
- $x_D = 12 - 7$
- $x_D = 5$
Daha önce $y_D = 4$ bulmuştuk.
Buna göre D noktasının koordinatları $(5,4)$ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.