Sorunun Çözümü
- Verilen noktalar $A(0, -2)$ ve $B(0, 3)$'tür. C noktası $x=4$ doğrusu üzerinde olduğundan $C(4, y_C)$ olarak alınır.
- [AC] açıortay olduğu için, A noktasının BC doğrusuna olan uzaklığı ile $x=4$ doğrusuna olan uzaklığı eşittir.
- A noktasının $x=4$ doğrusuna uzaklığı $|4 - 0| = 4$ birimdir. Bu durumda $d(A, BC) = 4$ birim olmalıdır.
- BC doğrusunun denklemini bulalım. $B(0,3)$ ve $C(4, y_C)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $m_{BC} = \frac{y_C - 3}{4 - 0} = \frac{y_C - 3}{4}$'tür. Doğru denklemi: $y - 3 = \frac{y_C - 3}{4}x \implies (y_C - 3)x - 4y + 12 = 0$.
- $A(0, -2)$ noktasının $(y_C - 3)x - 4y + 12 = 0$ doğrusuna uzaklığı: $d = \frac{|(y_C - 3)(0) - 4(-2) + 12|}{\sqrt{(y_C - 3)^2 + (-4)^2}} = \frac{|8 + 12|}{\sqrt{(y_C - 3)^2 + 16}} = \frac{20}{\sqrt{(y_C - 3)^2 + 16}}$ Bu uzaklığı $4$'e eşitleyelim: $4 = \frac{20}{\sqrt{(y_C - 3)^2 + 16}} \implies \sqrt{(y_C - 3)^2 + 16} = 5$. Her iki tarafın karesini alırsak $(y_C - 3)^2 + 16 = 25 \implies (y_C - 3)^2 = 9$. Buradan $y_C - 3 = 3$ veya $y_C - 3 = -3$ elde edilir. Yani $y_C = 6$ veya $y_C = 0$. Şekle göre C noktası y ekseninin pozitif tarafında ve B noktasının üzerinde olduğundan $y_C = 6$ olmalıdır. Böylece $C(4, 6)$ bulunur.
- Boyalı bölgenin köşelerini belirleyelim. Köşeler $C(4,6)$, $K(4,0)$ (x ekseni üzerindeki $x=4$ noktası) ve AC doğrusunun x eksenini kestiği noktadır.
- AC doğrusunun denklemini bulalım. $A(0, -2)$ ve $C(4, 6)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $m_{AC} = \frac{6 - (-2)}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$'dir. Doğru denklemi: $y - (-2) = 2(x - 0) \implies y + 2 = 2x$. Bu doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulmak için $y=0$ yazılır: $0 + 2 = 2x \implies x = 1$. Bu nokta $X_A(1, 0)$'dır.
- Boyalı bölge, köşeleri $X_A(1,0)$, $K(4,0)$ ve $C(4,6)$ olan bir dik üçgendir. Tabanı x ekseni üzerindedir ve uzunluğu $|4 - 1| = 3$ birimdir. Yüksekliği C noktasının y koordinatı olan $6$ birimdir. Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$ birimkare.
- Doğru Seçenek C'dır.