Bu soruyu adım adım çözerek A ve B noktalarının ordinatları oranını bulalım.

• 1. A ve B noktalarının orijine uzaklıklarını belirleyelim:

  Soruda A ve B noktalarının orijine uzaklıklarının birbirine eşit olduğu belirtilmiştir. Bu uzaklığa r diyelim. Yani, $|OA| = |OB| = r$.

• 2. A ve B noktalarının x ekseni ile yaptığı açıları bulalım:
  • B noktasının x ekseni (OC doğrusu) ile yaptığı açı $m(\widehat{BOC}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. Bu açıyı $\theta_B$ ile gösterelim: $\theta_B = 30^\circ$.
  • A noktasının x ekseni ile yaptığı açı, B noktasının açısı ile $m(\widehat{AOB})$ açısının toplamıdır: $\theta_A = m(\widehat{BOC}) + m(\widehat{AOB}) = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ$.
• 3. A ve B noktalarının koordinatlarını yazalım:

  Bir noktanın orijine uzaklığı $r$ ve x ekseni ile yaptığı açı $\theta$ ise, koordinatları $(r \cos\theta, r \sin\theta)$ şeklinde ifade edilir.

  • A noktasının koordinatları: $A = (r \cos(45^\circ), r \sin(45^\circ))$
  • B noktasının koordinatları: $B = (r \cos(30^\circ), r \sin(30^\circ))$
• 4. A ve B noktalarının ordinatlarını (y-koordinatlarını) belirleyelim:
  • $y_A = r \sin(45^\circ)$
  • $y_B = r \sin(30^\circ)$
• 5. Ordinatlar oranını hesaplayalım:

  Oran $\frac{y_A}{y_B}$ şeklinde olacaktır:

  $$ \frac{y_A}{y_B} = \frac{r \sin(45^\circ)}{r \sin(30^\circ)} $$

  $r$ değerleri sadeleşir:

  $$ \frac{y_A}{y_B} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} $$

  Bilinen trigonometrik değerleri yerine koyalım:

  $$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $$

  Şimdi oranı hesaplayalım:

  $$ \frac{y_A}{y_B} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2}{1} = \sqrt{2} $$

Buna göre, A ve B noktalarının ordinatları oranı $\sqrt{2}$'dir.

Cevap A seçeneğidir.