Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni A noktasında dik açılı bir üçgendir. B ve C noktaları x ekseni üzerindedir.

• 1. A noktasının koordinatlarını belirleme:
• B noktasının koordinatları $(-6, 0)$ ve C noktasının koordinatları $(6, 0)$'dır.
• Bir üçgende dik açı (A açısı) hipotenüs (BC) üzerindeyse, A noktası, çapı BC olan bir çemberin üzerindedir.
• BC doğru parçasının orta noktası, bu çemberin merkezidir.
• Orta nokta $M_{BC} = \left(\frac{-6+6}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0)$ yani orijindir.
• Çemberin yarıçapı, BC uzunluğunun yarısıdır. BC uzunluğu $6 - (-6) = 12$ birimdir.
• Yarıçap $r = \frac{12}{2} = 6$ birimdir.
• Dolayısıyla, A noktasının koordinatları $(a, b)$ ise, orijine olan uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır: $a^2 + b^2 = r^2 = 6^2 = 36$.
• Alternatif olarak, BA ve AC doğrularının eğimleri çarpımı -1 olmalıdır:
  $m_{BA} = \frac{b-0}{a-(-6)} = \frac{b}{a+6}$
  $m_{AC} = \frac{b-0}{a-6} = \frac{b}{a-6}$
  $m_{BA} \cdot m_{AC} = \frac{b}{a+6} \cdot \frac{b}{a-6} = -1$
  $\frac{b^2}{a^2 - 36} = -1 \Rightarrow b^2 = -(a^2 - 36) \Rightarrow b^2 = -a^2 + 36 \Rightarrow a^2 + b^2 = 36$.
• 2. G(x, y) ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleme:
• Üçgenin köşeleri $A(a, b)$, $B(-6, 0)$ ve $C(6, 0)$'dır.
• Ağırlık merkezinin koordinatları, köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:
  $x = \frac{a + (-6) + 6}{3} = \frac{a}{3}$
  $y = \frac{b + 0 + 0}{3} = \frac{b}{3}$
• 3. $x^2 + y^2$ toplamını hesaplama:
• $x^2 + y^2 = \left(\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{b}{3}\right)^2$
• $x^2 + y^2 = \frac{a^2}{9} + \frac{b^2}{9}$
• $x^2 + y^2 = \frac{a^2 + b^2}{9}$
• İlk adımda $a^2 + b^2 = 36$ bulmuştuk.
• Bu değeri yerine koyarsak: $x^2 + y^2 = \frac{36}{9} = 4$.

Cevap C seçeneğidir.