Verilen iki doğrunun kesim noktasının orijine uzaklığını bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim:

• 1. Kesim Noktasını Bulma:

Doğruların denklemleri:

• $d_1: x - 2y + 4 = 0$
• $d_2: 2x + y - 8 = 0$

Bu iki denklemi ortak çözerek kesim noktasının koordinatlarını bulalım. İkinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklemle toplayalım:

• $x - 2y + 4 = 0$
• $2 \times (2x + y - 8) = 4x + 2y - 16 = 0$

Denklemleri taraf tarafa toplarsak:

$(x - 2y + 4) + (4x + 2y - 16) = 0$

$5x - 12 = 0$

$5x = 12 \implies x = \frac{12}{5}$

Şimdi $x$ değerini ikinci denklemde yerine koyarak $y$ değerini bulalım:

$2\left(\frac{12}{5}\right) + y - 8 = 0$

$\frac{24}{5} + y - 8 = 0$

$y = 8 - \frac{24}{5}$

$y = \frac{40 - 24}{5} = \frac{16}{5}$

Kesim noktası $K\left(\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$'tir.

• 2. Kesim Noktasının Orijine Uzaklığını Bulma:

Orijin $O(0,0)$ noktasıdır. $K\left(\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$ noktasının orijine uzaklığı, iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulunur:

$Uzaklık = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$Uzaklık = \sqrt{\left(\frac{12}{5} - 0\right)^2 + \left(\frac{16}{5} - 0\right)^2}$

$Uzaklık = \sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2}$

$Uzaklık = \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{256}{25}}$

$Uzaklık = \sqrt{\frac{144 + 256}{25}}$

$Uzaklık = \sqrt{\frac{400}{25}}$

$Uzaklık = \sqrt{16}$

$Uzaklık = 4$ birim.

Cevap C seçeneğidir.