Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü kullanılarak bu problem çözülebilir.

• Uzaklık Formülü: Bir $(x_0, y_0)$ noktasının $Ax + By + C = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ formülü ile bulunur.
• Verilenler:
  • Nokta: $A(1, k)$, yani $x_0 = 1$, $y_0 = k$.
  • Doğru Denklemi: $5x + 12y - 1 = 0$, yani $A = 5$, $B = 12$, $C = -1$.
  • Uzaklık: $d = 1$ birim.
• Formülü Uygulayalım:

  $$1 = \frac{|5(1) + 12(k) - 1|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}$$

• Paydayı Hesaplayalım:

  $$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

• Denklemi Yeniden Yazalım:

  $$1 = \frac{|5 + 12k - 1|}{13}$$

  $$1 = \frac{|4 + 12k|}{13}$$

• Denklemi Çözelim:

  $$13 = |4 + 12k|$$

  Bu iki olası durumu ifade eder:
  1. Durum 1: $4 + 12k = 13$

     $$12k = 13 - 4$$

     $$12k = 9$$

     $$k = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$

  2. Durum 2: $4 + 12k = -13$

     $$12k = -13 - 4$$

     $$12k = -17$$

     $$k = -\frac{17}{12}$$

• Sonucu Belirleyelim: Soruda k'nın pozitif değeri sorulduğu için, $k = \frac{3}{4}$ değerini alırız.

Cevap C seçeneğidir.