Verilen dik koordinat sistemindeki boyalı bölgenin alanını bulmak için, bölgenin köşe noktalarını belirleyelim ve şeklin geometrik özelliklerinden faydalanalım.

• Boyalı bölge, $x=0$ (y-ekseni), $y=0$ (x-ekseni), $y=x$, $x=6$ ve $y=4$ doğruları arasında kalan alandır.
• Bölgenin köşe noktalarını belirleyelim:
  • Orijin: $(0,0)$
  • $x=6$ doğrusu ile $y=0$ (x-ekseni) kesişimi: $(6,0)$
  • $x=6$ doğrusu ile $y=4$ doğrusunun kesişimi: $(6,4)$
  • $y=x$ doğrusu ile $y=4$ doğrusunun kesişimi: $(4,4)$
• Bu köşe noktaları $(0,0)$, $(6,0)$, $(6,4)$ ve $(4,4)$ olan bir yamuktur.
• Bu yamuğun paralel kenarları yataydır (x-eksenine paraleldir):
  • Birinci paralel kenar $y=0$ üzerindedir ve $x=0$'dan $x=6$'ya kadar uzanır. Uzunluğu $b_1 = 6 - 0 = 6$ birimdir.
  • İkinci paralel kenar $y=4$ üzerindedir ve $x=4$'ten $x=6$'ya kadar uzanır. Uzunluğu $b_2 = 6 - 4 = 2$ birimdir.
• Yamuğun yüksekliği (h), paralel kenarlar arasındaki dikey mesafedir. Yani $y=0$ ile $y=4$ arasındaki mesafe $h = 4 - 0 = 4$ birimdir.
• Yamuğun alanı formülü $A = \frac{(b_1 + b_2)}{2} \times h$ şeklindedir.
• Değerleri yerine koyarsak: $$A = \frac{(6 + 2)}{2} \times 4$$ $$A = \frac{8}{2} \times 4$$ $$A = 4 \times 4$$ $$A = 16 \text{ birimkare}$$

Alternatif olarak, boyalı bölgeyi iki basit şekle ayırabiliriz:

• Birinci Bölge (Üçgen): Köşeleri $(0,0)$, $(4,0)$ ve $(4,4)$ olan bir dik üçgen.
  • Tabanı $4$ birim ($x=0$'dan $x=4$'e).
  • Yüksekliği $4$ birim ($y=0$'dan $y=4$'e).
  • Alanı: $A_1 = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ birimkare.
• İkinci Bölge (Dikdörtgen): Köşeleri $(4,0)$, $(6,0)$, $(6,4)$ ve $(4,4)$ olan bir dikdörtgen.
  • Genişliği $6-4=2$ birim.
  • Yüksekliği $4$ birim.
  • Alanı: $A_2 = \text{genişlik} \times \text{yükseklik} = 2 \times 4 = 8$ birimkare.
• Toplam Alan: $A = A_1 + A_2 = 8 + 8 = 16$ birimkare.

Her iki yöntemle de sonuç 16 birimkare olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.