Sorunun Çözümü
- Verilen doğruların eğimlerini belirleyelim.
- Birinci doğru: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 4 \implies$ eğim $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- İkinci doğru: $y = -x + 6 \implies$ eğim $m_2 = -1$
- Doğruların x-ekseniyle yaptığı açıları ($\theta$) bulalım. ($\tan \theta = m$)
- $\tan \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta_1 = 30^\circ$
- $\tan \theta_2 = -1 \implies \theta_2 = 135^\circ$ (çünkü $\tan$ negatif ve $0^\circ < \theta < 180^\circ$)
- Doğrular arasındaki dar açıyı ($\alpha$) hesaplayalım.
- $\tan \alpha = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ formülünü kullanalım.
- $\tan \alpha = \left| \frac{-1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (-1)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} \right| = \left| \frac{-(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1} \right|$
- $\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ ifadesini paydayı rasyonel yaparak sadeleştirelim.
- $\tan \alpha = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$
- $\tan \alpha = 2+\sqrt{3}$ olduğundan, dar açı $\alpha = 75^\circ$
- Doğrular arasındaki geniş açıyı bulalım.
- Geniş açı $= 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$
- Doğru Seçenek D'dır.