Sorunun Çözümü
- Birinci doğrunun y-eksenini kestiği noktayı bulalım: $x - 2y + 4 = 0$. $x=0$ için $-2y + 4 = 0 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$. Nokta $B(0, 2)$'dir.
- İkinci doğrunun x-eksenini kestiği noktayı bulalım: $3x + 4y - 12 = 0$. $y=0$ için $3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$. Nokta $A(4, 0)$'dır.
- İki doğrunun kesişim noktasını bulalım:
Denklem sistemi:
1) $x - 2y + 4 = 0$
2) $3x + 4y - 12 = 0$
Birinci denklemi $2$ ile çarpıp ikinci denklemle toplayalım:
$(2x - 4y + 8) + (3x + 4y - 12) = 0$
$5x - 4 = 0 \Rightarrow 5x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{5}$
$x$ değerini birinci denklemde yerine koyalım: $\frac{4}{5} - 2y + 4 = 0 \Rightarrow \frac{24}{5} = 2y \Rightarrow y = \frac{12}{5}$
Kesişim noktası $P(\frac{4}{5}, \frac{12}{5})$'dir. - Eksenler ve doğrular arasında kalan bölge, köşeleri $O(0,0)$, $A(4,0)$, $P(\frac{4}{5}, \frac{12}{5})$ ve $B(0,2)$ olan bir dörtgendir.
- Bu dörtgenin alanını, $OAP$ ve $OBP$ üçgenlerinin alanları toplamı olarak bulabiliriz.
Üçgen $OAP$'nin alanı: Tabanı x-ekseni üzerindeki $OA$ uzunluğu ($4$ birim), yüksekliği $P$ noktasının y-koordinatı ($\frac{12}{5}$ birim) olan üçgenin alanı:
$Alan(OAP) = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ birimkare.
Üçgen $OBP$'nin alanı: Tabanı y-ekseni üzerindeki $OB$ uzunluğu ($2$ birim), yüksekliği $P$ noktasının x-koordinatı ($\frac{4}{5}$ birim) olan üçgenin alanı:
$Alan(OBP) = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$ birimkare. - Toplam alan, bu iki üçgenin alanları toplamıdır:
$Toplam Alan = \frac{24}{5} + \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$ birimkare. - Doğru Seçenek E'dır.