Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Doğrunun Denklemini Bulma

Doğru, A(4, -1) noktasından ve orijin O(0, 0) noktasından geçmektedir. İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için önce eğimi hesaplarız:

Eğim ($m$) $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 0}{4 - 0} = \frac{-1}{4}$

Doğru orijinden geçtiği için denklemi $y = mx$ formundadır. Bu durumda doğrunun denklemi:

$y = -\frac{1}{4}x$

• Adım 2: Bölgenin Köşe Noktalarını Belirleme

Bölge, $y = -\frac{1}{4}x$ doğrusu, $y = -2$ doğrusu ve y ekseni ($x = 0$) arasında kalan bölgedir. Bu üç doğrunun kesişim noktalarını bulalım:

• $y = -\frac{1}{4}x$ ile $x = 0$ kesişimi: $y = -\frac{1}{4}(0) = 0$. Nokta: (0, 0) (Orijin).
• $y = -2$ ile $x = 0$ kesişimi: Nokta: (0, -2).
• $y = -\frac{1}{4}x$ ile $y = -2$ kesişimi:

$-\frac{1}{4}x = -2 \Rightarrow x = 8$. Nokta: (8, -2).

Bu üç nokta (0, 0), (0, -2) ve (8, -2) bir üçgenin köşeleridir.

• Adım 3: Bölgenin Alanını Hesaplama

Oluşan üçgenin tabanı, (0, -2) ve (8, -2) noktaları arasındaki mesafedir. Bu taban x eksenine paraleldir ve uzunluğu:

Taban uzunluğu ($b$) $= |8 - 0| = 8$ birim.

Üçgenin yüksekliği, (0, 0) noktasından $y = -2$ doğrusuna olan dik uzaklıktır. Bu uzaklık:

Yükseklik ($h$) $= |0 - (-2)| = 2$ birim.

Üçgenin alanı formülü $\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$ olduğundan:

Alan $= \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$ birimkare.

Cevap C seçeneğidir.