Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, A noktası $(-3, 0)$'dır.
- BC doğrusunun eğimi, x ekseniyle yaptığı $45^\circ$ açıdan dolayı $m_{BC} = \tan(45^\circ) = 1$'dir.
- AC doğrusu BC doğrusuna dik olduğundan, $m_{AC} = -1/m_{BC} = -1/1 = -1$'dir.
- AC doğrusunun denklemi, $A(-3, 0)$ noktasından geçen ve eğimi $-1$ olan doğru denklemi $y - 0 = -1(x - (-3)) \implies y = -x - 3$'tür.
- C noktasının koordinatları $(x_C, y_C)$ olsun. C noktası AC doğrusu üzerinde olduğundan $y_C = -x_C - 3$'tür. Ayrıca $AC = 2\sqrt{2}$ olduğundan, $(x_C - (-3))^2 + (y_C - 0)^2 = (2\sqrt{2})^2$'dir.
- Bu denklemde $y_C = -x_C - 3$ yerine yazılırsa $(x_C + 3)^2 + (-x_C - 3)^2 = 8 \implies 2(x_C + 3)^2 = 8 \implies (x_C + 3)^2 = 4$'tür.
- Buradan $x_C + 3 = 2$ veya $x_C + 3 = -2$ bulunur. $x_C = -1$ veya $x_C = -5$. Şekle göre C noktası üçüncü bölgede olduğundan $x_C = -1$ ve $y_C = -(-1) - 3 = -2$'dir. Yani C noktası $(-1, -2)$'dir.
- BC doğrusunun denklemi, $C(-1, -2)$ noktasından geçen ve eğimi $1$ olan doğru denklemi $y - (-2) = 1(x - (-1)) \implies y + 2 = x + 1 \implies y = x - 1$'dir.
- K noktası y ekseni üzerinde olduğundan x koordinatı $0$'dır. BC doğrusunun denklemi $y = x - 1$'de $x = 0$ yazılırsa $y_K = 0 - 1 = -1$'dir. Yani K noktası $(0, -1)$'dir.
- A ve K noktalarından geçen doğrunun eğimi $m_{AK} = (y_K - y_A) / (x_K - x_A) = (-1 - 0) / (0 - (-3)) = -1/3$'tür.
- A ve K noktalarından geçen doğrunun denklemi, $K(0, -1)$ noktasından geçen ve eğimi $-1/3$ olan doğru denklemi $y - (-1) = (-1/3)(x - 0) \implies y + 1 = -x/3$'tür.
- Denklemi düzenlersek $3(y + 1) = -x \implies 3y + 3 = -x \implies x + 3y + 3 = 0$'dır.
- Doğru Seçenek B'dır.