Sorunun Çözümü
- Verilen doğru denklemi $3x + 5y - 4 = 0$'dır. Bu doğrunun eğimi $m_1 = -\frac{3}{5}$'tir.
- Aradığımız $ax + by + c = 0$ doğrusu, verilen doğruya diktir. Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$'dir. Bu yüzden aradığımız doğrunun eğimi $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{(-3/5)} = \frac{5}{3}$'tür.
- Eğimi $\frac{5}{3}$ olan bir doğru denklemi $y = \frac{5}{3}x + k$ şeklinde yazılabilir. Denklemi $ax + by + c = 0$ formatına getirmek için düzenleriz:
$3y = 5x + 3k$
$5x - 3y + 3k = 0$
Bu denklem $ax + by + c = 0$ ile karşılaştırıldığında, $a = 5$, $b = -3$ ve $c = 3k$ (veya bu değerlerin herhangi bir tam sayı katı) olabilir. - Doğru $(-1, 0)$ noktasından geçtiğine göre, bu noktayı denklemde yerine koyarız:
$5(-1) - 3(0) + 3k = 0$
$-5 + 0 + 3k = 0$
$3k = 5$
$k = \frac{5}{3}$ - Şimdi $c$ değerini bulalım: $c = 3k = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5$.
- Böylece, doğrunun denklemi $5x - 3y + 5 = 0$ olur. Bu durumda $a=5$, $b=-3$, $c=5$ değerleri tam sayıdır.
- Bizden istenen $a + b + c$ toplamıdır:
$a + b + c = 5 + (-3) + 5 = 7$. - Denklemin herhangi bir tam sayı katı da geçerli bir çözüm olacağından, örneğin denklemi $-1$ ile çarparsak $-5x + 3y - 5 = 0$ olur ve bu durumda $a=-5, b=3, c=-5$ olur. Toplamları $-5+3-5 = -7$ olur. Ancak seçeneklerde $7$ mevcuttur.
- Doğru Seçenek A'dır.