Merhaba 11. Sınıf öğrencileri!

Bu ders notu, "Noktanın Analitik İncelenmesi" konusundaki bilginizi pekiştirmek ve karşınıza çıkabilecek soru tiplerine karşı hazırlıklı olmanızı sağlamak amacıyla hazırlandı. Karşınızdaki test, analitik geometrinin temel taşlarından olan noktaların koordinatları, doğru parçalarını bölme oranları, uzaklık hesaplamaları ve özel geometrik şekillerin (üçgen, paralelkenar) analitik düzlemdeki özelliklerini kapsıyor. Bu notlarla konuyu hızlıca tekrar edebilir ve sınavlara daha güvenle hazırlanabilirsiniz.

1. Temel Kavramlar ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık

• Dik Koordinat Sistemi: Bir noktanın konumunu belirlemek için kullanılan, birbirine dik iki sayı doğrusunun (x-ekseni ve y-ekseni) oluşturduğu sistemdir. Bir nokta P(x, y) şeklinde gösterilir.
• Eksenler Üzerindeki Noktalar:
  • x-ekseni üzerindeki noktaların y koordinatı sıfırdır: (x, 0)
  • y-ekseni üzerindeki noktaların x koordinatı sıfırdır: (0, y)
  • Orijin (başlangıç noktası) O(0, 0) olarak gösterilir.
• İki Nokta Arasındaki Uzaklık: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık (uzunluk) aşağıdaki formülle bulunur:
  |AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
• Orijine Uzaklık: Bir P(x, y) noktasının orijine uzaklığı, aslında P(x, y) ile O(0, 0) arasındaki uzaklıktır:
  |OP| = √[x² + y²]

💡 İpucu: Uzaklık formülü Pisagor Teoremi'nin bir uygulamasıdır. Koordinat farklarının karelerinin toplamının kareköküdür.

2. Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Nokta

• Orta Nokta Koordinatları: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarının orta noktası M(x_m, y_m) aşağıdaki formülle bulunur:
  x_m = (x₁ + x₂) / 2
  y_m = (y₁ + y₂) / 2
• İçten Bölen Nokta Koordinatları: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren doğru parçasını, A'dan m birim ve B'den n birim uzaklıkta (yani |AK|/|KB| = m/n oranında) içten bölen K(x_k, y_k) noktasının koordinatları:
  x_k = (x₁ · n + x₂ · m) / (m + n)
  y_k = (y₁ · n + y₂ · m) / (m + n)
• Dıştan Bölen Nokta Koordinatları: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren doğru parçasını, AB doğrusu üzerinde fakat AB doğru parçasının dışında bölen bir C noktası için genellikle iki farklı yaklaşım kullanılır:
  1. B noktası, AC doğru parçasını belirli bir oranda içten böler gibi düşünülerek içten bölme formülü uygulanır.
  2. Vektörel yöntemler veya koordinatlardaki değişim oranları kullanılarak bulunur. Örneğin, A'dan B'ye x koordinatında bir değişim varsa, B'den C'ye aynı oranda bir değişim olur.

⚠️ Dikkat: İçten ve dıştan bölme sorularında verilen oranı doğru anlamak çok önemlidir. Örneğin, |AB| = 3|AK| ise, K noktası AB'yi 1:2 oranında böler (A'dan K'ye 1 birim, K'den B'ye 2 birim). Ya da |AB| = 2|BC| ise, B noktası AC'yi 2:1 oranında içten böler.

3. Üçgenlerde ve Dörtgenlerde Analitik Geometri Uygulamaları

• Üçgenin Ağırlık Merkezi (Kenarortayların Kesim Noktası): Köşe koordinatları A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃, y₃) olan bir üçgenin ağırlık merkezi G(x_g, y_g) aşağıdaki formülle bulunur:
  x_g = (x₁ + x₂ + x₃) / 3
  y_g = (y₁ + y₂ + y₃) / 3
• Kenarortay Uzunluğu: Bir kenarortayın uzunluğunu bulmak için, öncelikle kenarortayın indiği kenarın orta noktasının koordinatları bulunur. Daha sonra, üçgenin ilgili köşesi ile bu orta nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak kenarortayın uzunluğu hesaplanır.
• Paralelkenarın Dördüncü Köşesi: Bir paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu demektir ki, iki köşegenin orta noktaları aynıdır. Bu özellik kullanılarak, üç köşesi bilinen bir paralelkenarın dördüncü köşesinin koordinatları bulunabilir. Örneğin ABCD paralelkenarında AC köşegeninin orta noktası ile BD köşegeninin orta noktası aynıdır.
• Açıortay Teoremi ve Koordinatlar: Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. ABC üçgeninde AD iç açıortay ise, |BD| / |DC| = |AB| / |AC| bağıntısı geçerlidir. Bu oran ve içten bölme formülü kullanılarak bilinmeyen nokta koordinatları bulunabilir. Bunun için öncelikle |AB| ve |AC| uzunlukları (iki nokta arası uzaklık formülüyle) hesaplanmalıdır.
• Çevrel Çemberin Merkezi (Üç Köşeye Eşit Uzaklıktaki Nokta): Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi, üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıkta olan noktadır. Bu noktaya D(x, y) dersek, |DA| = |DB| = |DC| eşitlikleri kullanılarak bir denklem sistemi oluşturulur ve D noktasının koordinatları bulunur.

4. Ek Bilgiler ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Eğim ve Diklik Şartı: İki doğrunun birbirine dik olması durumunda eğimleri çarpımı -1'dir (m₁ · m₂ = -1). Eğer bir doğru yatay (x eksenine paralel) ise eğimi 0'dır. Bir doğru dikey (y eksenine paralel) ise eğimi tanımsızdır. Yatay ve dikey doğrular birbirine diktir.
• Koordinat Düzleminde Şekil Çizimi: Karmaşık sorularda, verilen noktaları ve şekli koordinat düzlemine kabaca çizmek, problemi görselleştirmeye ve çözüm yolunu bulmaya yardımcı olabilir. Özellikle dıştan bölme veya paralelkenar gibi sorularda bu yöntem oldukça faydalıdır.

⚠️ Dikkat: İşlem Hataları ve Formül Karışıklığı: Analitik geometride çok sayıda formül bulunur. Bu formülleri karıştırmamak ve işlem adımlarını dikkatli yapmak (özellikle işaretlere dikkat etmek) büyük önem taşır. Her adımı kontrol ederek ilerlemek, hata yapma olasılığını azaltır.

Bu ders notu, "Noktanın Analitik İncelenmesi" konusunda karşılaşabileceğiniz temel kavramları ve problem çözme stratejilerini özetlemektedir. Başarılar dilerim!