Sorunun Çözümü
- Bir $f(x) = a \sin(bx+c) + d$ fonksiyonunun periyodu $T = \frac{2\pi}{|b|}$ formülüyle bulunur. Verilen $f(x) = 3 + 4\sin(\frac{x}{3})$ fonksiyonunda $b = \frac{1}{3}$'tür. Bu durumda periyot $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$'dir. Dolayısıyla, I. ifade doğrudur.
- Sinüs fonksiyonunun en büyük değeri $1$'dir. Yani, $-1 \le \sin(\frac{x}{3}) \le 1$. Fonksiyonun en büyük değerini bulmak için $\sin(\frac{x}{3}) = 1$ alınır. $f(x)_{max} = 3 + 4(1) = 3 + 4 = 7$. Dolayısıyla, II. ifade doğrudur.
- Bir fonksiyonun $f(x) = f(-x)$ olması için çift fonksiyon olması gerekir. $f(-x)$'i bulalım: $f(-x) = 3 + 4\sin(\frac{-x}{3})$. Sinüs fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$'dır. Bu durumda $f(-x) = 3 - 4\sin(\frac{x}{3})$ olur. $f(x) = 3 + 4\sin(\frac{x}{3})$ olduğundan, $f(x) \ne f(-x)$'tir. Dolayısıyla, III. ifade yanlıştır.
- Doğru Seçenek C'dır.