Sorunun Çözümü
- Birim çemberde A noktası $(-1, 0)$, B noktası $(1, 0)$ ve O noktası $(0, 0)$'dır. Çemberin yarıçapı $1$'dir.
- I. öncül için: $m(\widehat{CAB}) = \alpha$ açısı, AC doğrusunun x ekseniyle yaptığı açıdır. A noktası $(-1,0)$ ve D noktası y ekseni üzerinde olduğundan $(0, |OD|)$'dir. AC doğrusunun eğimi $\tan\alpha$'dır. Bu eğim aynı zamanda $\frac{|OD| - 0}{0 - (-1)} = |OD|$'ye eşittir. Dolayısıyla, $|OD| = \tan\alpha$'dır. Bu öncül doğrudur.
- II. öncül için: AB çap olduğundan, $\triangle ACB$ bir dik üçgendir ve $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$'dir. Bu dik üçgende $|AB| = 2$ (çap) ve $m(\widehat{CAB}) = \alpha$'dır. Sinüs tanımından, $\sin\alpha = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{|BC|}{2}$'dir. Buradan $|BC| = 2\sin\alpha$ bulunur. Bu öncül doğrudur.
- III. öncül için: A noktası $(-1, 0)$ ve D noktası $(0, \tan\alpha)$'dır (I. öncülden). İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak $|AD|$'yi bulalım: $|AD| = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (\tan\alpha - 0)^2} = \sqrt{1^2 + \tan^2\alpha}$. Trigonometrik özdeşlik olan $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$'yı kullanarak, $|AD| = \sqrt{\sec^2\alpha} = |\sec\alpha|$ elde edilir. Şekilde $\alpha$ dar açı olduğundan $\sec\alpha > 0$'dır. Dolayısıyla, $|AD| = \sec\alpha$'dır. Bu öncül doğrudur.
- Tüm öncüller doğru olduğundan, doğru seçenek E'dir.