Sorunun Çözümü
- D noktasını koordinat sisteminin başlangıç noktası $(0,0)$ olarak alalım.
- ABCD bir kare olduğundan, C noktası $(s,0)$ ve B noktası $(s,s)$ olacaktır, burada $s$ karenin bir kenar uzunluğudur.
- $m(\widehat{EDC}) = 45^\circ$ ve $|DE| = 2\sqrt{2}$ br bilgileriyle E noktasının koordinatlarını bulalım. E noktasından DC doğrusuna indirilen dikmenin ayağına H diyelim. $\triangle EDH$ bir $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ üçgenidir. Bu durumda $|DH| = |EH| = |DE| \cos 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$ br olur. Böylece E noktasının koordinatları $(2,2)$ olur.
- K noktası DC doğrusu üzerinde olduğundan, K noktasının koordinatları $(k,0)$ şeklinde olacaktır.
- $\alpha = m(\widehat{EKD})$ açısının kotanjantını bulmak için E noktasından DC doğrusuna indirilen dikme ayağı H'yi kullanırız. H noktası $(2,0)$'dır. $\triangle EHK$ dik üçgeninde $|EH|=2$ ve $|HK|=|k-2|$'dir. $cot\alpha = \frac{|HK|}{|EH|} = \frac{|k-2|}{2}$ olur.
- Şimdi $|BK| = 4|EK|$ koşulunu kullanalım. Uzaklık formülünü kullanarak: $|EK|^2 = (k-2)^2 + (0-2)^2 = (k-2)^2 + 4$ $|BK|^2 = (k-s)^2 + (0-s)^2 = (k-s)^2 + s^2$ Verilen koşuldan $|BK|^2 = 16|EK|^2$ yazabiliriz: $(k-s)^2 + s^2 = 16((k-2)^2 + 4)$ $k^2 - 2sk + s^2 + s^2 = 16(k^2 - 4k + 4 + 4)$ $k^2 - 2sk + 2s^2 = 16k^2 - 64k + 128$ $15k^2 + (2s-64)k + (128-2s^2) = 0$
- Bu denklemde $k$ ve $s$ olmak üzere iki bilinmeyen vardır. Sorunun tek bir cevabı olması gerektiğinden, $s$ için özel bir değerin bu denklemi basitleştirmesi beklenir. $s=8$ değerini deneyelim: $15k^2 + (2(8)-64)k + (128-2(8)^2) = 0$ $15k^2 + (16-64)k + (128-2(64)) = 0$ $15k^2 - 48k + (128-128) = 0$ $15k^2 - 48k = 0$ $3k(5k - 16) = 0$ Buradan $k=0$ veya $5k-16=0 \Rightarrow k=16/5$ bulunur.
- Eğer $k=0$ ise, K noktası D noktasıdır. Bu durumda $\alpha = m(\widehat{EDC}) = 45^\circ$ olur ve $cot\alpha = cot 45^\circ = 1$ olur. Bu seçeneklerde yoktur.
- Eğer $k=16/5$ ise, K noktası $(16/5, 0)$'dır. $k=16/5 = 3.2$. E noktasının x koordinatı 2 olduğundan, K noktası H