Sorunun Çözümü
- Birim çemberin merkezi $O(0,0)$ ve yarıçapı $r = 1$'dir. Bu durumda $A(-1,0)$ ve $B(1,0)$ noktalarıdır.
- $m(\widehat{CAB}) = \alpha$ olduğundan, AC doğrusunun eğimi $\tan \alpha$'dır. A noktasından geçen AC doğrusunun denklemi $y - 0 = \tan \alpha (x - (-1))$, yani $y = \tan \alpha (x+1)$ olur.
- C noktası, AC doğrusu ile $x=1$ doğrusunun kesişimidir. $x=1$ yerine yazılırsa $y_C = \tan \alpha (1+1) = 2 \tan \alpha$. Böylece $C(1, 2 \tan \alpha)$ olur.
- D noktası, AC doğrusu ile birim çemberin ($x^2+y^2=1$) kesişimidir. $y = \tan \alpha (x+1)$ denklemini çember denkleminde yerine yazarsak $x^2 + (\tan \alpha (x+1))^2 = 1$ elde ederiz. Bu denklemin köklerinden biri $x_A = -1$'dir. Diğer kök $x_D = \cos(2\alpha)$ bulunur. $y_D = \tan \alpha (\cos(2\alpha)+1) = \sin(2\alpha)$. Böylece $D(\cos(2\alpha), \sin(2\alpha))$ olur.
- $|AC|$ uzunluğunu hesaplayalım: $A(-1,0)$ ve $C(1, 2 \tan \alpha)$ noktaları arasındaki uzaklık $|AC| = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 \tan \alpha - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (2 \tan \alpha)^2} = \sqrt{4 + 4 \tan^2 \alpha} = \sqrt{4(1 + \tan^2 \alpha)} = \sqrt{4 \sec^2 \alpha} = 2 \sec \alpha$. ($\alpha$ dar açı olduğu için $\sec \alpha > 0$).
- $|AD|$ uzunluğunu hesaplayalım: $A(-1,0)$ ve $D(\cos(2\alpha), \sin(2\alpha))$ noktaları arasındaki uzaklık $|AD| = \sqrt{(\cos(2\alpha) - (-1))^2 + (\sin(2\alpha) - 0)^2} = \sqrt{(1 + \cos(2\alpha))^2 + \sin^2(2\alpha)}$. Yarım açı formüllerini kullanarak $1 + \cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha$ ve $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ yazarsak $|AD| = \sqrt{(2 \cos^2 \alpha)^2 + (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2} = \sqrt{4 \cos^4 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \sqrt{4 \cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)} = \sqrt{4 \cos^2 \alpha} = 2 \cos \alpha$. ($\alpha$ dar açı olduğu için $\cos \alpha > 0$).
- A, D, C noktaları doğrusal ve D noktası A ile C arasındadır. Bu yüzden $|CD| = |AC| - |AD|$ olur.
- $|CD| = 2 \sec \alpha - 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{\cos \alpha} - \cos \alpha \right) = 2 \left( \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos \alpha} \right) = 2 \left( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \right) = \frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$.
- Doğru Seçenek C'dır.