Sorunun Çözümü
- Orijini `O(0,0)` olarak kabul edelim. A noktası y ekseni üzerinde ve `|OA| = 15` birim olduğundan, `A(0, 15)` olur.
- H noktası da y ekseni üzerinde ve `|AH| = 5` birim olduğundan, `|OH| = |OA| + |AH| = 15 + 5 = 20` birimdir. Bu durumda `H(0, 20)` olur.
- `[CH] \perp [OH]` olduğu için CH doğrusu y eksenine diktir, yani yataydır. Bu durumda C noktasının y koordinatı H noktasının y koordinatına eşittir, yani `y_C = 20`.
- `tan \alpha = \frac{5}{3}` verildiğinden, bir dik üçgende karşı kenar 5, komşu kenar 3 alınırsa, hipotenüs `\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}` olur. Buradan `\sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{34}}` ve `\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{34}}` bulunur.
- `m(\widehat{HOB}) = \alpha` açısı, OB doğru parçasının pozitif y ekseni ile yaptığı açıdır. OB'nin pozitif x ekseni ile yaptığı açı `\theta_B = 90^\circ - \alpha` olur.
- `[OC] \perp [OB]` olduğundan, OC'nin pozitif x ekseni ile yaptığı açı `\theta_C = \theta_B + 90^\circ = (90^\circ - \alpha) + 90^\circ = 180^\circ - \alpha` olur.
- C noktasının koordinatları `(R \cos \theta_C, R \sin \theta_C)` şeklindedir, burada R yarıçaptır. Yani `C = (R \cos(180^\circ - \alpha), R \sin(180^\circ - \alpha)) = (-R \cos \alpha, R \sin \alpha)`.
- C noktasının y koordinatı `y_C = R \sin \alpha` ve daha önce `y_C = 20` bulmuştuk. Bu durumda `R \sin \alpha = 20`. `R \left(\frac{5}{\sqrt{34}}\right) = 20` eşitliğinden `R = \frac{20 \sqrt{34}}{5} = 4 \sqrt{34}` bulunur.
- C noktasının x koordinatı `x_C = -R \cos \alpha = -(4 \sqrt{34}) \left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) = -12` olur. Böylece `C(-12, 20)` bulunur.
- A noktası `(0, 15)` ve C noktası `(-12, 20)` olduğuna göre, aralarındaki uzaklık `|AC| = \sqrt{(-12 - 0)^2 + (20 - 15)^2}`.
- `|AC| = \sqrt{(-12)^2 + (5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13` birimdir.
- Doğru Seçenek D'dır.