Sorunun Çözümü
- Öncelikle $f(\frac{5\pi}{6})$ değerini bulalım. $x = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ$. Bu değer $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$'den büyük veya eşit olduğu için $f(x) = \sin x - \cos x$ kuralını kullanırız.
- $f(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6}) - \cos(\frac{5\pi}{6}) = \sin(150^\circ) - \cos(150^\circ)$.
- $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
- $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Böylece $f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ olur.
- Şimdi $f(\frac{\pi}{3})$ değerini bulalım. $x = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$. Bu değer $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$'den küçük olduğu için $f(x) = \tan x + \cot x$ kuralını kullanırız.
- $f(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) + \cot(\frac{\pi}{3}) = \tan(60^\circ) + \cot(60^\circ)$.
- $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
- $\cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
- Böylece $f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ olur.
- İstenen ifadeyi hesaplayalım: $(\sqrt{3} - 1) f(\frac{5\pi}{6}) + \sqrt{3} f(\frac{\pi}{3})$.
- Değerleri yerine koyarsak: $(\sqrt{3} - 1) \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3} \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$.
- İlk terimi hesaplayalım: $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) / 2 = ((\sqrt{3})^2 - 1^2) / 2 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1$.
- İkinci terimi hesaplayalım: $\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$.
- Toplam değer $1 + 4 = 5$ olur.
- Doğru Seçenek E'dır.